Geometria Analítica - Vetores

Boa Tarde Pessoal!


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Escreva o vetor x em função dos vetores AB e AC,
                                                   ➙
sabendo que P é o ponto médio de BC e M, N são
                                                  ➙
pontos de trisecção do segmento AB.

          ➙                                  ➙     ➙
Temos x em função dos vetores AB e AC,
           ➙   ➙     ➙
ou seja, x = AB+ AC.

              ➙                                                     
Do vetor CB é dividido em duas partes e
          ➙    
o vetor BA é dividido em três partes.

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A soma vetorial de x é: x =  1  PB +  2  BM
                                       2            3

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PB é a metade do vetor CB, e BM é
                              ➙
dois terços do vetor AB. Como nos mostra a figura abaixo:

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Substituindo PB por CB e BM por BA temos:

          ➙        ➙
x =  1  CB +  2  BA
     2            3
                                    ➙     ➙
O exercício nos pediu x = AB+ AC

                      ➙         ➙
e temos x =  1  CB +  2  BA,
                  2            3
                                                                 ➙              

 então teremos que fazer a soma vetorial de CB
              ➙  
e inverter BA.
                       ➙
Soma vetorial CB:

➙     ➙    ➙  
CB = CA + AB
                                         
                                           ➙
Teremos que inverter o vetor CA, para ficar igual o
                                                            ➙
que foi dado pelo exercício, então o vetor CA passa a
     ➙                                                     ➙
ser AC e de positivo passa para negativo: - AC.

 ➙      ➙     ➙  
CB = - AC + AB.

                                    ➙          ➙
Agora inverteremos   2  BA: -  2   AB.
                                 3        3

Nunca se esqueçam de inverter o sinal quando for necessário a inversão do sentido do vetor.
                                                 
                                                      ➙
Iremos substituir a soma vetorial de CB na nossa
                                                        ➙
 equação e inverter o sentido do vetor AB

 ➙       ➙     ➙
CB = - AC + AB

                     ➙        ➙
Então:  x =  1  CB +  2  BA     =
              2            3

➙            ➙     ➙         ➙
 x =  1  (-AC = AB) -   2  AB =
       2                       3

➙          ➙        ➙        ➙
 x =-  1  AC +  1  AB -   2  AB
       2             2         3

Agora devemos fazer a soma dos vetores iguais que aparecem mais de uma vez:

Irei fazer o calculo separado da equação:

       ➙          ➙
  1  AB -  2  AB
  2        3

m.m.c de 2 e 3 é 6 então temos:
     ➙      ➙                  ➙
    3AB - 4AB     = -  1   AB
          6                 6

Chegamos ao último passo de nossa conta:
➙        ➙         ➙
x =-  1  AC  -   1  AB
         2          6

Pessoal espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!