Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis

A equação diferencial de variável separável é do tipo:

∫h(y)dy = ∫h(x)dx

Exemplo 1: y'  = e-3x

Lembrando que y' é o mesmo que ∂y/∂x

Portanto:

   ∂y    = e-3x
 ∂x

Separando y e x:

 ∂y = e-3x ∂x

∫∂y = ∫e-3x ∂x

y = (- e-3x) /3  + C

Solução Explícita, pois é como isolar o ''y''.

Exemplo 2: cos(x)∂x +    1     ∂y = 0
                                         y³

Separando y e x:
    1     ∂y = cos(x)∂x
  y³

∫    1     ∂y = - ∫cos(x)∂x
   y³

∫ y-3  ∂y = - ∫cos(x)∂x
 
 (-y-2)/2 =  - sen(x)

Arrumando a equação:

    1    = (- sen(x)).(-2)
   y²

    1    = 2.(sen(x))
   y²

y² =            1         
          2.(sen(x))


y = ± √ (1/2.(sen(x)))

Solução Explícita.



Exemplo 3: y' =    x + 2   
                              y4 + 3
Separando y e x:

   ∂y    =    x + 2   
   ∂x        y4 + 3


Separando y e x:

 (y4 + 3)∂y = (x² +2)∂x

∫ (y4 + 3)∂y = ∫(x² +2)∂x

(y5)/5 + 3y = (x²)/2 + 2x + C

Solução Implícita, pois não tem como isolar o ''y''.

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Integral Iterada IV

Calcule a integral dupla abaixo, onde R = {(x,y)/ 0 ≤  x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ √x}

∫ ∫    2y   dA
 R      x² + 1

Analisando o R, temos no eixo y variação de 0 a √x, portanto devemos começar por eliminar essa incógnita da variação e para eliminá-la, começaremos integrar em função de y, para ao substituir ficarmos tudo em função de x.

1    √x
∫ ∫    2y   dydx
0  0     x² + 1

Como x é constante, tiraremos-o da integral

       √x
1/(x²-1)∫ 2ydy
      0
       
         √x    
1/(x²-1).[2y²/2]
         0

         √x    
1/(x²-1).[y²]
         0
         
1/(x²-1).[(√x)²- (0)²]
   
1/(x²-1).[x]

        

   x   
(x²-1)

Obtendo o resultado da integral em função de y, em seguida integra-se em função de x:

 1
∫     x    dx
0    (x²-1)


Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = x² + 1           du/2x = dx

1
∫    x    dx
0     u

Substituindo: 

  1
18∫    x    .    du   
  0     u          2x

Cortando o x, temos:

1
∫ ln|u| . 1/2

0

                 1
[ln|x² +1| . 1/2]
                 0

Arrumando e substituindo:
                1
1/2.[ln|x² +1|]
                0
    
1/2.[ln|(1)² +1| - ln|(0)² +1|]

1/2.[ln|2| - ln|1|]     

 1 .ln|2| 
2





Calcule a integral dupla abaixo, onde R = {(x,y)/ 0 ≤  y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y}

∫ ∫ x.√(y² - x²) dA
 R      

Analisando o R, temos no eixo x variação de 0 a y, portanto devemos começar por eliminar essa incógnita da variação e para eliminá-la, começaremos integrar em função de x, para ao substituir ficarmos tudo em função de y.

1    y
∫ ∫ x.√(y² - x²) dxdy
0  0     

       

 y
∫ x.(y² - x²)1/2 dxdy
0


Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = y² - x²           du/2x = dx

y
∫ x.(u)1/2 dx
0  

Substituindo: 

  y
∫    x.(u)1/2 .    du   
0                     2x

Cortando o x, temos:

     y
1/2∫ (u)1/2

     0

                  y
1/2[2/3(u)3/2 ]
                  0

Arrumando e substituindo:
                             y
(1/2).(2/3).[(y² - x²)3/2]
                             0
    
1/3.[(y² - y²)3/2 - (y² - 0²)3/2]

-1/3.[(y²)3/2]

-1/3.[(y)6/2]     


Obtendo o resultado da integral em função de x, em seguida integra-se em função de y:

 1
∫ -1/3.(y)6/2 dy
0

    1
-1/3∫ (y)6/2 dy
   0

                  1
-1/3.[(2/8).(y)8/2]
                  0

                       1
-(1/3). (2/8).[(y)8/2]
                       0
                             
                  1
-(1/12).[√(y)8]
         0

- (1/12).[√(1)8 - √(0)8]

- (1/12).[1]

  - 1   
   12

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Integral Iterada I

Suponha que f seja uma função de 2 variáveis, contínua no retângulo R = [a,b]x[c,d]. A integral: 
  a  d
∫ ∫ f(x,y)dydx
 b  c

é chamada de Integral Iterada

Teorema de Fubini

Se f for contínua no retângulo, então:

R = {(x,y)/ a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d}

Exemplo 1:

  3  2
∫ ∫ x²ydydx
 0  1

Pela ordem dada, começaremos a integral em função de y, como x é uma constante podemos tirá-lo da integral:

    2
x²∫ ydy
    1
       
         2    
x²[y²/2]
          1

x²[2²/2 - 1²/2]

x²[2 - 1²/2]

  3x²  

  2

Obtendo o resultado da integral em função de y, em seguida integra-se em função de x:

  3
∫   3x²  dx
 0   2
        
    3
3/2∫ x²  dx
    0  

          3    
3/2.[x³/3]
          0

3/2.[3³/3 - 0³/3]

3/2. [9]

  27  

  2

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Integral Iterada II

Calcule a integral dupla abaixo, onde R = {(x,y)/ 0 ≤  x ≤ 1 e 3 ≤ y -3}

∫ ∫    xy²   dA
 R      x² + 1

Analisando a integral será mais fácil começarmos a integrar por y, para eliminar-la de primeira e ficarmos apenas com o y, pode-se começar a integrar por x, fica a critério de cada um, porém o resultado tem que ser o mesmo.

1   3
∫ ∫    xy²   dydx
0  -3     x² + 1

Como x é constante, tiraremos-o da integral

       3
x/(x²-1)∫ y²dy
      -3
       
         3    
x/(x²-1).[y³/3]
         -3
         
x/(x²-1).[3³/3 - (-3)³/3]
     
x/(x²-1).[9 +9]

        

   18x   
(x²-1)

Obtendo o resultado da integral em função de y, em seguida integra-se em função de x:

 1
∫    18x    dx
0    (x²-1)

Como o 18 é uma constante, vamos isolá-lo:

   1
18∫    x    dx
  0    (x²-1)  

Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = x² + 1           du/2x = dx

  1
18∫    x    dx
  0       u

Substituindo: 
 
  1
18∫    x    .    du   
  0       u          2x

Cortando o x, temos:

 1
18∫ ln|u| . 1/2

 0

                        1
18 [ln|x² +1| . 1/2]
                        0

Arrumando e substituindo:
                       1
18 . 1/2.[ln|x² +1|]
                        0
    
9.[ln|(1)² +1| - ln|(0)² +1|]

9.[ln|2| - ln|1|]     

9.ln|2|                 

Para mostrar que independente de qual irá integrar primeiro o resultado será o mesmo, mostrado os cálculos:

1   3
∫ ∫    xy²   dxdy
0  -3     x² + 1

Como y² é constante, tiraremos-o da integral:

  1
y²∫    x    dx
  0    (x²-1)


Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = x² + 1           du/2x = dx

  1
y²∫    x    dx
  0       u

Substituindo: 

  1
y²∫    x    .    du   
  0       u          2x

Cortando o x, temos:

 1
y²∫ ln|u| . 1/2

 0

                        1
y² [ln|x² +1| . 1/2]
                        0

Arrumando e substituindo:
                       1
y² . 1/2.[ln|x² +1|]
                        0
    
y²/2.[ln|(1)² +1| - ln|(0)² +1|]

y²/2.[ln|2| - ln|1|]     

   y².ln|2|                 

     2

Obtendo o resultado da integral em função de x, em seguida integra-se em função de y:

3

∫    y².ln|2|    dy          
-3        2

Como o ln|2|/2 é uma constante, vamos isolá-lo:

       

     3

  ln|2|  .∫ y² dy          
   2    -3

              3    
  ln|2|  .[y³/3]
     2       -3

Substituindo
             
  ln|2|  .[3³/3 - (-3)³/3]
     2  

  ln|2|  .[9 +9]

      2  

  ln|2|.18  

      2  

9.ln|2|        

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Integral Iterada III

 1  e^y

∫ ∫ (√x)dxdy
 0  y

Pela ordem dada, começaremos a integral em função de x:

Arrumando a equação:

 1  e^y

∫ ∫ x1/2dxdy
 0  y

  e^y

 ∫ x1/2dx
  y

               e^y

[ 2.x3/2   ]
      3        y

               

[ 2.e 3.y/2 -  2.y 3/2]
       3              3

Obtendo o resultado da integral em função de x, em seguida integra-se em função de y:

  1
∫ [ 2.e 3.y/2 -  2.y 3/2] dy
0       3              3
        
                                                    1
[  2  .  2  . e 3.y/2 -    2   .   2   . y 5/2]
  3   3                    3     5              0

                                       1
[  4  . e 3.y/2 -   4   . y 5/2]
  9                 15              0

                                     
[  4  . e 3.1/2 -   4   . 1 5/2] - [  4  . e 3.0/2 -   4   . 0 5/2]
  9                 15                    9                 15

[  4  . e 3/2 -   4   ] - [  4   - 0]
  9                 15          9    

  4  . e 3/2 -   4    -   4  
  9                 15       9

  4  . e 3/2 -   32 
  9                 45            

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Regra da Cadeia para funções de 2 variáveis II

1) Se f(x,y) = x.e2.x.y² , onde x = 2.t e y = 3.t -1.

Derivando em função de x:

   ∂f    = 1.e2.x.y² + 2.x.y².e2.x.y²
  ∂x

Derivando em função de y:

   ∂f    = 2.2.x.y.x.e2.x.y²
  ∂x

  ∂f    = 4.x².y.e2.x.y²
  ∂x


Derivando x em função do tempo:

   ∂x    = 2
  ∂t

Derivando y em função do tempo:

   ∂y    = 3
  ∂t

Substituindo na equação geral ∂f/∂t

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

   ∂y    = (e2.x.y² + 2.x.y².e2.x.y²).2 + (4.x².y.e2.x.y²).3
  ∂t

   ∂y    = 2e2.x.y² + 4.x.y².e2.x.y² + 12.x².y.e2.x.y²
  ∂t

Colocando ''e'' em evidência:

  ∂y    = e2.x.y².(2 4.x.y² + 12.x².y)
  ∂t

Substituindo o ''x'' e ''y'' pelas equações dadas pelo exercício:

   ∂y    = e2.(2.t).(3t-1)².[2 + 4.(2t).(3t-1)² + 12.(2t)².(3t-1)]
  ∂t

  ∂y    = e4.t.(3.t-1)².[2 + 8.t.(3t-1)² + 48.t².(3t-1)]
  ∂t

2) Se z = x.cos(y); x = sen(t) e y = t:

Derivando em função de x:

   ∂f    = cos(y)
  ∂x

Derivando em função de y:

   ∂f    = -x.sen(y)
  ∂x


Derivando x em função do tempo:

   ∂x    = cos(t)
  ∂t

Derivando y em função do tempo:

   ∂y    = 1
  ∂t

Substituindo na equação geral ∂f/∂t

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

   ∂y    = cos(y).cost + [-x.sen(y)].1
  ∂t

   ∂y    = cos(y).cos(t) - x.sen(y)
  ∂t


Substituindo o ''x'' e ''y'' pelas equações dadas pelo exercício:

   ∂y    = cos(t).cos(t) - sen(t).sen(t)
  ∂t

   ∂y    = cos²(t) - sen²(t)
  ∂t

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Derivada Direcional II

Determinar a taxa de variação de f no ponto P na direção e sentido do vetor u que já está normalizado. 

O exercício já diz que o vetor u já está normalizado, portanto não será necessário calcular o versor.

1) f(x,y) = y lnx, P = (1,-3) e u =   -4   î +    3  ĵ
                                            5          5  

Derivando f(x):

f(x) =    y   
           x 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = -3/1

f(x) = -3

Derivando f(y):

f(y) =lnx

Substituindo pelos pontos:

f(x) = ln 1
f(x) = 0

grad f(1,-3) = (-3,0)

O produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (-3,0).(-4/5, 3/5)

Duf (x,y) =    12    

                  5

2)  f(x,y,z) = xe 2yz, P = (3,0,2) e u =    2   î,    -2   ĵ ,    1   k 

                                                    3         3          3 

Derivando f(x):

f(x) = e 2yz 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = e 2.0.2

f(x) = 1

Derivando f(y):

f(y) = 2zxe 2yz 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.2.3.e 2.0.2
f(x) = 12

Derivando f(z):

f(y) = 2yxe 2yz 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.0.3.e 2.0.2
f(x) = 0

grad f(3,0,2) = (1,12,0)

O produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (1,12,0).(2/3,-2/3, 1/3)

Duf (x,y) =    2    -    24    

                  3         3

Duf (x,y) =    -22   
                   3

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Regra da Cadeia para funções de 2 variáveis I

Para função de 1 variável tínhamos:

f(x(t))

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x   
  ∂t           ∂x         ∂t


Para Regra da Cadeia de funções de 2 variáveis:

f(x(t), y(t)

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

Primeiro deriva-se a função em função de x e em seguida deriva-se x em função do tempo, faz-se o produto da derivada da função em x pelo x derivado em função do tempo, faz-se o mesmo esquema com y, para finalizar só realizar somatória.



Exemplo 1: Se f(x,y) = x²y + 3xy², onde x = sen2t e y = cost determine df/dt quando t = 0s.

Derivando em função de x:

   ∂f    = 2xy + 3y²
  ∂x

Derivando em função de y:

   ∂f    = x² + 6xy
  ∂x

Derivando x em função do tempo:

   ∂x    = cos(2t).2
  ∂t

Substituindo t por t = 0s.

   ∂x    = cos(2.0).2
  ∂t

   ∂x    = 2
  ∂t

Derivando y em função do tempo:

   ∂y    = -sent
  ∂t

   ∂y    = -sen0
  ∂t

   ∂y    = 0
  ∂t

Substituindo na equação geral ∂f/∂t

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

   ∂y    = (2xy +3y²).2 + (6.x.y).0
  ∂t

   ∂y    = 4xy + 6y²
  ∂t

Substituindo o ''x'' e ''y'' pelas equações dadas pelo exercício:

   ∂y    = 4(sen(2t)).(cos(t)) + 6(cos(t))²
  ∂t

Substituindo pelo tempo dado t = 0s:

   ∂y    = 4(sen(2.0)).(cos(0)) + 6(cos(0))²
  ∂t

   ∂y    = 6
  ∂t

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Derivada Direcional III

Determinar a derivada  direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v.

f(x,y) = ln(x² + y²), P = (2,-1) e  u = (-1,2)

Derivando f(x):

f(x) =     2x    

          x² + y²

Substituindo pelos pontos:

f(x) =     2.2    

          (2)² + (1)²

f(x) = 4/5

Derivando f(y):

f(y) =    2y    

          x² + y²

Substituindo pelos pontos:

f(x) =     2.1    

          (2)² + (1)²

f(x) = 2/5

grad f(2,-1) = (4/5,2/5)

Calculado o vetor gradiente, calcula-se o módulo de u para determinar o versor.

|u| = √(1² + 2²)

|u| = √ 3

versor =    u   
               |u|

versor = (-1/√3, 2/√3)

Determinado o versor basta fazer o produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (4/5,2/5).(-1/√3, 2/√3)

Duf (x,y) =    -4    +    4    = 

                5√3       5√3      

Duf (x,y) =    - 4  .    √3    +    4    .    √3   

                5√3      √3       5√3       √3      

Duf (x,y) =     -4√3    +    4√3   

                     15               15       

Duf (x,y) = 0



2) g(r,θ) = e-π senθ, P = ( 0, π/3) e v = 3î - 2ĵ

Derivando g(x):

g(r) = - e-π senθ

Substituindo pelos pontos:

g(x) = - e-0 sen(π/3)

g(x) = -√3/2

Derivando f(θ):

f(θ) = e-π cosθ

Substituindo pelos pontos:

g(θ) = e-0 cos(π/3)

g(θ) = 1/2

grad f(2,-1) = (-√3/2,1/2)

Calculado o vetor gradiente, calcula-se o módulo de u para determinar o versor.

|u| = √(3² + 2²)

|u| = √13

versor =    u   
               |u|

versor = (3/√13, -2/√13)

Determinado o versor basta fazer o produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Dug(r,θ) = grad f(2,-1).u

Dug(r,θ) =  (-√3/2,1/2). (3/√13, -2/√13)

Dug(r,θ) =    -3√3     -     2    = 

                2√13         2√13      

Dug(r,θ) =    -3√3   .    √13    -     2     .    √13   
                   2√13      √13       2√13       √13      

Dug(r,θ) =     -3√39    -    2√13   

                    26              26       

Dug(r,θ) =     -3√39 -   2√13   

                         26             

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Derivada Direcional I

Seja z = f(x,y) uma função de 2 variáveis que representa uma superfície S no espaço. Se P = (xo,yo,zo) é um ponto fixo de S e u = u1î + u2ĵ é o versos de u, então a derivada direcional de f(x,y) em P na direção do versor u é:

Duf(x,y) = grad f(x,y).u


Exemplo 1: Encontrar a derivada direcional de f(x,y) = x²y³ - 4y no ponto (2,-1) na direção do vetor u = 2î + 5ĵ

f(x,y) = x²y³ -4y

Derivando f(x):

f(x) = 2xy³ 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.2.(-1)³

f(x) = -4

Derivando f(y):

f(y) =3x²y² - 4

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 3.(2)².(-1)² - 4

f(x) = 8

grad f(2,-1) = (-4,8)

Calculado o vetor gradiente, calcula-se o módulo de u para determinar o versor.

|u| = √(2² + 5²)

|u| = √ 29

versor =    u   
               |u|

versor = (2/√29, 5/√29)

Determinado o versor basta fazer o produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (-4,8).(2/√29, 5/√29)

Duf (x,y) =    -8    +    40    =    32  

                     √29       √29      √29

Duf (x,y) =     32   .    √29   

                     √29       √29      

Duf (x,y) =     32√29   

                      29       

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Derivadas Parciais de Ordem Superior

Dada a função z = ln(x² + y²), calcule    ∂³z    .
                                                   ∂x∂y²  

Na derivada de Ordem Superior dada pelo exercício significa derivada de 3ª ordem de z em função da derivada de 2ª ordem de função de y, que após ser calculada derivar-se-à em função de x:

   ∂³z    =     ∂(∂²z)     
   ∂x∂y²     ∂x(∂y²) 

Lembrando que no denominador começará pela derivada da direita para a esquerda.


Se fosse   ∂²z    seria: 
              ∂x∂y 

Derivada de 2ª de z em função da derivada de 1ª ordem em função de z, que após ser calculada derivar-se-à em função de x:

   ∂²z    =     ∂(∂z)     
   ∂x∂y²     ∂x(∂y) 


Voltando ao exercício:

Deve-se aplicando a Regra do Quociente:

Derivada Parcial  de 1ª em função de y: 
   ∂z    =        1       . 2y
   ∂y        (x²+y²)

   ∂z    =       2y      
   ∂y        (x² + y²)


Derivada Parcial  de 2ª em função de y:

   ∂z    =       2y      
   ∂y        (x² + y²)

   ∂²z    =        2. (x² + y²) -2y.(2y)   
   ∂y²                (x² + y²)²

   ∂²z    =        2.x² + 2y² - 4y²   
   ∂y²               (x² + y²)²

   ∂²z    =        2.x² - 2y²   
   ∂y²          (x² + y²)²


Derivada Parcial  de 1ª em função de x:

     ∂³z      =       2.x² - 2y²   
   ∂x∂y²          (x² + y²)²

   ∂³z    =     ∂(∂²z)   
   ∂x∂y²     ∂x(∂y²)                

     ∂³z      =    4x².(x² + y²) - (2.x² - 2y²).2(x² + y²).2x   
   ∂x∂y²                      ((x² + y²)²)²

     ∂³z      =    4x².(x² + y²) - 4x(2.x² - 2y²).(x² + y²)   
   ∂x∂y²                    (x² + y²)4


Pode-se também simplificar a equação, aplicando distributiva:

     ∂³z      =     4x4 + 4x²y² - 4x.(2x4  + 2x²y² - 2x²y²  -2y4)   
   ∂x∂y²                          (x² + y²)4

     ∂³z      =    4x4 + 4x²y² - 4x.(2x4  -2y4)   
   ∂x∂y²                     (x² + y²)4

∂³z      =    4x4 + 4x²y² - 8x5  + 8xy4   
∂x∂y²                      (x² + y²)4

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Derivadas Parciais de 1ª e 2ª Ordem

Nas Derivadas Parciais de 1ª Ordem basta derivar a f(x,y) em função de x (f(x)) e depois em função de y (f(y)).

Nas Derivadas Parciais de 2ª Ordem basta derivar a função de x (f(x)) da derivada de 1ª Ordem em função de x (f(xx)) e em função de y (f(xy)),e, faz-se o mesmo com f(y) da derivada de 1ª Ordem, derivando em x (f(yx)) e em y (f(yy)).

Para saber se as derivadas foram feitas corretamente, deve-se obter o mesmo valor para as derivadas fxy e fyx.

Exemplo 1: f(x,y) = x³ + x²y² -2y²

Derivada Parcial de 1ª Ordem:

f(x) = 3x² + 2xy²

f(y) = 3x²y² + 4y


Derivada Parcial de 2ª Ordem:

f(x) = 3x² + 2xy²

f(xx) = 6x + 2y³

f(xy) = 6xy²


f(y) = 3x²y² + 4y

f(yx) = 6xy²

f(yy) = 6x²y - 4

Observe que as derivadas das funções f(xy) e f(yx) obteve o mesmo resultado, portanto os cálculos estão corretos.



Exemplo 2: f(x,y) = sen(2x + y)

Derivada Parcial de 1ª Ordem:

f(x) = cos(2x + y).2

f(y) = cos(2x + y)


Derivada Parcial de 2ª Ordem:

f(x) = 2.cos(2x + y)

f(xx) = - 4.sen(2x + y)

f(xy) = - 2.sen(2x + y)


f(y) = cos(2x + y)

f(yx) = - 2.sen(2x + y)

f(xy) = - sen(2x + y)

Novamente observa-se que as derivadas das funções f(xy) e f(yx) obteve o mesmo resultado, portanto os cálculos estão corretos.

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Vetor Gradiente

Seja a função dada z = f(x,y) que admite derivadas de 1ª ordem no ponto (xo,yo), então o vetor gradiente da função f no ponto (xo,yo) é dada por:

grad f(xo,yo) =    ∂f   î +    ∂f   ĵ +    ∂f   k

                            ∂x          ∂y          ∂z

O vetor gradiente indica a direção e sentido de maior crescimento e decrescimento de uma função.    

Exemplos; Encontre as direções nas quais as funções crescem e decrescem mais rapidamente em Po.

a) f(x,y) = x³ + xy + y² , Po = (-1,3)

Derivando f(x):

f(x) = 3x² + y

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 3.(-1)² + 3

f(x) = 6

Derivando f(y):

f(y) = x + 2y

Substituindo pelos pontos:

f(x) = -1 +2.3

f(x) = 5

grad f(x,y) = 6î + 5ĵ

b) f(x,y) = sen(2x) + e^(2xy), Po = (0,1)

Derivando f(x):

f(x) = 2.cos(2x) + 2y.e^(2xy)

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.cos(2.0) + 2.y.e^(2.0.1)

f(x) =  2 + 2

f(x) =  4

Derivando f(y):

f(y) = 2x.e^(2xy)

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.0.e^(2.0.1)

f(x) = 0

grad f(x,y) = 4î 

b) f(x,y,z) = x².y².z², Po = (1,2,3)

Derivando f(x):

f(x) = 2.x.y².z²

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.(1).(2)².(3)²

f(x) =  72

Derivando f(y):

f(y) = 2.x².y.z²

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.(1)².(2).(3)²

f(x) =  36

Derivando f(z):

f(y) = 2.x².y².z

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.(1)².(2)².(3)

f(x) =  24

grad f(x,y,z) = 72î + 36ĵ + 24k

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Reta tangente

Seja z = √(x² + y²)

Determine a equação da reta tangente às curvas de intersecção da superfície no ponto P( 2,√5,3), com o plano x = 2.

Sabe-se que a equação da reta é dada por y = ax + b, sendo que ax + b é variável em y, portanto ∂z/∂y = ax + b.
Derivando a equação teremos:
  ∂z   = a
 ∂y

substituindo o z na equação:

z = √(x² + y²)

z = (x² + y²)^1/2

  ∂(x² + y²)^1/2   = a
 ∂y

Não olvidem-se de aplicar a Regra da cadeia.

a =   1    . (x² + y²)^(-1/2) . 2y
        2

a =         y        
        (x² + y²)^(1/2)

a =         y        
       √(x² + y²)

O último passo é só substituir pelos valores da superfície nos P( 2,√5,3):

a =        √5        
       √(2² + √5²)

a =  √5 
       √9

a =  √5 
       3

Portanto:

 y = ax + b

 y =  √5 x + b
         3

Calculando o coeficiente linear:

x = 2          y = √5

√5 =  √5  . 2 + b
         3

b = √5 -  2√5 
                3
Fazendo m.m.c

b =  3√5 -  2√5 
            3

b =  √5 
       3

Portanto a equação da reta é:

y =  √5 x +  √5 
       3           3

Realizaremos o cálculo  com o plano y = √5, com os mesmos pontos do cálculo anterior.

Obs: No exercício anterior o plano pedido era em x, ou seja, plano em x é constante e o que somente irá variar é o plano y, portanto derivamos a equação da reta em função de y.
Neste segundo exemplo o plano pedido é em y, ou seja, será constante e o plano em x terá variação, portanto derivamos a equação da reta em função de x.


Derivando a equação da reta em x, temos:

∂z/∂x = ax + b.

  ∂z   = a
 ∂x

substituindo o z na equação:

z = √(x² + y²)

z = (x² + y²)^1/2

  ∂(x² + y²)^1/2   = a
 ∂x

Não olvidem-se de aplicar a Regra da cadeia.

a =   1    . (x² + y²)^(-1/2) . 2x
        2

a =            x            
        (x² + y²)^(1/2)

a =         x        
       √(x² + y²)

O último passo é só substituir pelos valores da superfície nos P( 2,√5,3):

a =         2         
       √(2² + √5²)

a =   2  
       √9

a =   2   
       3

Portanto:

 y = ax + b

 y =  2   . x + b
         3

Calculando o coeficiente linear:

x = 2          y = √5

√5 =   2   . 2 + b
         3

b = √5 -   4  
                3
Fazendo m.m.c

b =  3√5 - 4 
            3

Portanto a equação da reta é:

y =  √5 x +  3√5 - 4 
       3              3

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Derivadas Parciais de 1ª Ordem

Seja f (x,y) =    5xy²   , (x,y) ≠ (0,0).
                     x² + y²  

Calcular: f(1,2) -    ∂f   (1,2) +    ∂f   (1,2)
                        ∂x                 ∂y

Aplicar regra do quociente:

Derivando f(x):

   ∂f   =    5y².(x² + y²) - 5xy².2x   

  ∂x             (x² + y²)²

   ∂f   =    5y²x² + 5y4 - 10x²y²  

  ∂x             (x² + y²)²

   ∂f   =     5y4 - 5x²y²  

  ∂x           (x² + y²)²

Derivando f(y):

   ∂f   =    10x³y.(x² + y²) - 5xy².2y   

  ∂y             (x² + y²)²

   ∂f   =    10x³y + 10xy³ - 10xy³  

  ∂y             (x² + y²)²

   ∂f   =    10x³y   

  ∂y      (x² + y²)²

Calculando a equação:

f(1,2) -    ∂f   (1,2) +    ∂f   (1,2)
             ∂x              ∂y

Substituindo pelos valores dado de x e y na função e nas derivadas em x e em y.

f(1,2) =     5xy²   

             x² + y²

f(1,2) =     5.1.(2)²   

               (1)² + (2)²

f(1,2) =     20  

              5

f(1,2) = 4

   ∂f   =     5y4 - 5x²y²  

  ∂x           (x² + y²)²

   ∂f   =     5(2)4 - 5.(1)².(2)²  

  ∂x           ((1)² + (2)²)²

   ∂f   =     80 - 20  

  ∂x          25

   ∂f   =  2,4
  ∂x

   ∂f   =    10x³y   

  ∂y      (x² + y²)²

  ∂f   =     10.(1)³.2  

  ∂y       ((1)² + (2)²)²

   ∂f   =    20  

  ∂y          25

   ∂f   =  0,8
  ∂y 

Substituindo na equação:

f(1,2) -    ∂f   (1,2) +    ∂f   (1,2)
             ∂x              ∂y

4 - 2,4 + 2,8 = 2,4

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