Derivada Direcional III

Determinar a derivada  direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v.

f(x,y) = ln(x² + y²), P = (2,-1) e  u = (-1,2)

Derivando f(x):

f(x) =     2x    

          x² + y²

Substituindo pelos pontos:

f(x) =     2.2    

          (2)² + (1)²

f(x) = 4/5

Derivando f(y):

f(y) =    2y    

          x² + y²

Substituindo pelos pontos:

f(x) =     2.1    

          (2)² + (1)²

f(x) = 2/5

grad f(2,-1) = (4/5,2/5)

Calculado o vetor gradiente, calcula-se o módulo de u para determinar o versor.

|u| = √(1² + 2²)

|u| = √ 3

versor =    u   
               |u|

versor = (-1/√3, 2/√3)

Determinado o versor basta fazer o produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (4/5,2/5).(-1/√3, 2/√3)

Duf (x,y) =    -4    +    4    = 

                5√3       5√3      

Duf (x,y) =    - 4  .    √3    +    4    .    √3   

                5√3      √3       5√3       √3      

Duf (x,y) =     -4√3    +    4√3   

                     15               15       

Duf (x,y) = 0



2) g(r,θ) = e-π senθ, P = ( 0, π/3) e v = 3î - 2ĵ

Derivando g(x):

g(r) = - e-π senθ

Substituindo pelos pontos:

g(x) = - e-0 sen(π/3)

g(x) = -√3/2

Derivando f(θ):

f(θ) = e-π cosθ

Substituindo pelos pontos:

g(θ) = e-0 cos(π/3)

g(θ) = 1/2

grad f(2,-1) = (-√3/2,1/2)

Calculado o vetor gradiente, calcula-se o módulo de u para determinar o versor.

|u| = √(3² + 2²)

|u| = √13

versor =    u   
               |u|

versor = (3/√13, -2/√13)

Determinado o versor basta fazer o produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Dug(r,θ) = grad f(2,-1).u

Dug(r,θ) =  (-√3/2,1/2). (3/√13, -2/√13)

Dug(r,θ) =    -3√3     -     2    = 

                2√13         2√13      

Dug(r,θ) =    -3√3   .    √13    -     2     .    √13   
                   2√13      √13       2√13       √13      

Dug(r,θ) =     -3√39    -    2√13   

                    26              26       

Dug(r,θ) =     -3√39 -   2√13   

                         26             

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!