Derivada Direcional I

Seja z = f(x,y) uma função de 2 variáveis que representa uma superfície S no espaço. Se P = (xo,yo,zo) é um ponto fixo de S e u = u1î + u2ĵ é o versos de u, então a derivada direcional de f(x,y) em P na direção do versor u é:

Duf(x,y) = grad f(x,y).u


Exemplo 1: Encontrar a derivada direcional de f(x,y) = x²y³ - 4y no ponto (2,-1) na direção do vetor u = 2î + 5ĵ

f(x,y) = x²y³ -4y

Derivando f(x):

f(x) = 2xy³ 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.2.(-1)³

f(x) = -4

Derivando f(y):

f(y) =3x²y² - 4

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 3.(2)².(-1)² - 4

f(x) = 8

grad f(2,-1) = (-4,8)

Calculado o vetor gradiente, calcula-se o módulo de u para determinar o versor.

|u| = √(2² + 5²)

|u| = √ 29

versor =    u   
               |u|

versor = (2/√29, 5/√29)

Determinado o versor basta fazer o produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (-4,8).(2/√29, 5/√29)

Duf (x,y) =    -8    +    40    =    32  

                     √29       √29      √29

Duf (x,y) =     32   .    √29   

                     √29       √29      

Duf (x,y) =     32√29   

                      29       

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!