Seja z = √(x² + y²)
Determine a equação da reta tangente às curvas de intersecção da superfície no ponto P( 2,√5,3), com o plano x = 2.
Sabe-se que a equação da reta é dada por y = ax + b, sendo que ax + b é variável em y, portanto ∂z/∂y = ax + b.
Derivando a equação teremos:
∂z = a
∂y
substituindo o z na equação:
z = √(x² + y²)
z = (x² + y²)^1/2
∂(x² + y²)^1/2 = a
∂y
Não olvidem-se de aplicar a Regra da cadeia.
a = 1 . (x² + y²)^(-1/2) . 2y
2
a = y
(x² + y²)^(1/2)
a = y
√(x² + y²)
O último passo é só substituir pelos valores da superfície nos P( 2,√5,3):
a = √5
√(2² + √5²)
a = √5
√9
a = √5
3
Portanto:
y = ax + b
y = √5 x + b
3
Calculando o coeficiente linear:
x = 2 y = √5
√5 = √5 . 2 + b
3
b = √5 - 2√5
3
Fazendo m.m.c
b = 3√5 - 2√5
3
b = √5
3
Portanto a equação da reta é:
y = √5 x + √5
3 3
Realizaremos o cálculo com o plano y = √5, com os mesmos pontos do cálculo anterior.
Obs: No exercício anterior o plano pedido era em x, ou seja, plano em x é constante e o que somente irá variar é o plano y, portanto derivamos a equação da reta em função de y.
Neste segundo exemplo o plano pedido é em y, ou seja, será constante e o plano em x terá variação, portanto derivamos a equação da reta em função de x.
Derivando a equação da reta em x, temos:
∂z/∂x = ax + b.
∂z = a
∂x
substituindo o z na equação:
z = √(x² + y²)
z = (x² + y²)^1/2
∂(x² + y²)^1/2 = a
∂x
Não olvidem-se de aplicar a Regra da cadeia.
a = 1 . (x² + y²)^(-1/2) . 2x
2
a = x
(x² + y²)^(1/2)
a = x
√(x² + y²)
O último passo é só substituir pelos valores da superfície nos P( 2,√5,3):
a = 2
√(2² + √5²)
a = 2
√9
a = 2
3
Portanto:
y = ax + b
y = 2 . x + b
3
Calculando o coeficiente linear:
x = 2 y = √5
√5 = 2 . 2 + b
3
b = √5 - 4
3
Fazendo m.m.c
b = 3√5 - 4
3
Portanto a equação da reta é:
y = √5 x + 3√5 - 4
3 3
Pessoal, espero que tenham gostado e curtido, fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!
Determine a equação da reta tangente às curvas de intersecção da superfície no ponto P( 2,√5,3), com o plano x = 2.
Sabe-se que a equação da reta é dada por y = ax + b, sendo que ax + b é variável em y, portanto ∂z/∂y = ax + b.
Derivando a equação teremos:
∂z = a
∂y
substituindo o z na equação:
z = √(x² + y²)
z = (x² + y²)^1/2
∂(x² + y²)^1/2 = a
∂y
Não olvidem-se de aplicar a Regra da cadeia.
a = 1 . (x² + y²)^(-1/2) . 2y
2
a = y
(x² + y²)^(1/2)
a = y
√(x² + y²)
O último passo é só substituir pelos valores da superfície nos P( 2,√5,3):
a = √5
√(2² + √5²)
a = √5
√9
a = √5
3
Portanto:
y = ax + b
y = √5 x + b
3
Calculando o coeficiente linear:
x = 2 y = √5
√5 = √5 . 2 + b
3
b = √5 - 2√5
3
Fazendo m.m.c
b = 3√5 - 2√5
3
b = √5
3
Portanto a equação da reta é:
y = √5 x + √5
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Realizaremos o cálculo com o plano y = √5, com os mesmos pontos do cálculo anterior.
Obs: No exercício anterior o plano pedido era em x, ou seja, plano em x é constante e o que somente irá variar é o plano y, portanto derivamos a equação da reta em função de y.
Neste segundo exemplo o plano pedido é em y, ou seja, será constante e o plano em x terá variação, portanto derivamos a equação da reta em função de x.
Derivando a equação da reta em x, temos:
∂z/∂x = ax + b.
∂z = a
∂x
substituindo o z na equação:
z = √(x² + y²)
z = (x² + y²)^1/2
∂(x² + y²)^1/2 = a
∂x
Não olvidem-se de aplicar a Regra da cadeia.
a = 1 . (x² + y²)^(-1/2) . 2x
2
a = x
(x² + y²)^(1/2)
a = x
√(x² + y²)
O último passo é só substituir pelos valores da superfície nos P( 2,√5,3):
a = 2
√(2² + √5²)
a = 2
√9
a = 2
3
Portanto:
y = ax + b
y = 2 . x + b
3
Calculando o coeficiente linear:
x = 2 y = √5
√5 = 2 . 2 + b
3
b = √5 - 4
3
Fazendo m.m.c
b = 3√5 - 4
3
Portanto a equação da reta é:
y = √5 x + 3√5 - 4
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