Regra da Cadeia para funções de 2 variáveis II

1) Se f(x,y) = x.e2.x.y² , onde x = 2.t e y = 3.t -1.

Derivando em função de x:

   ∂f    = 1.e2.x.y² + 2.x.y².e2.x.y²
  ∂x

Derivando em função de y:

   ∂f    = 2.2.x.y.x.e2.x.y²
  ∂x

  ∂f    = 4.x².y.e2.x.y²
  ∂x


Derivando x em função do tempo:

   ∂x    = 2
  ∂t

Derivando y em função do tempo:

   ∂y    = 3
  ∂t

Substituindo na equação geral ∂f/∂t

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

   ∂y    = (e2.x.y² + 2.x.y².e2.x.y²).2 + (4.x².y.e2.x.y²).3
  ∂t

   ∂y    = 2e2.x.y² + 4.x.y².e2.x.y² + 12.x².y.e2.x.y²
  ∂t

Colocando ''e'' em evidência:

  ∂y    = e2.x.y².(2 4.x.y² + 12.x².y)
  ∂t

Substituindo o ''x'' e ''y'' pelas equações dadas pelo exercício:

   ∂y    = e2.(2.t).(3t-1)².[2 + 4.(2t).(3t-1)² + 12.(2t)².(3t-1)]
  ∂t

  ∂y    = e4.t.(3.t-1)².[2 + 8.t.(3t-1)² + 48.t².(3t-1)]
  ∂t

2) Se z = x.cos(y); x = sen(t) e y = t:

Derivando em função de x:

   ∂f    = cos(y)
  ∂x

Derivando em função de y:

   ∂f    = -x.sen(y)
  ∂x


Derivando x em função do tempo:

   ∂x    = cos(t)
  ∂t

Derivando y em função do tempo:

   ∂y    = 1
  ∂t

Substituindo na equação geral ∂f/∂t

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

   ∂y    = cos(y).cost + [-x.sen(y)].1
  ∂t

   ∂y    = cos(y).cos(t) - x.sen(y)
  ∂t


Substituindo o ''x'' e ''y'' pelas equações dadas pelo exercício:

   ∂y    = cos(t).cos(t) - sen(t).sen(t)
  ∂t

   ∂y    = cos²(t) - sen²(t)
  ∂t

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!