Derivadas Parciais de Ordem Superior

Dada a função z = ln(x² + y²), calcule    ∂³z    .
                                                   ∂x∂y²  

Na derivada de Ordem Superior dada pelo exercício significa derivada de 3ª ordem de z em função da derivada de 2ª ordem de função de y, que após ser calculada derivar-se-à em função de x:

   ∂³z    =     ∂(∂²z)     
   ∂x∂y²     ∂x(∂y²) 

Lembrando que no denominador começará pela derivada da direita para a esquerda.


Se fosse   ∂²z    seria: 
              ∂x∂y 

Derivada de 2ª de z em função da derivada de 1ª ordem em função de z, que após ser calculada derivar-se-à em função de x:

   ∂²z    =     ∂(∂z)     
   ∂x∂y²     ∂x(∂y) 


Voltando ao exercício:

Deve-se aplicando a Regra do Quociente:

Derivada Parcial  de 1ª em função de y: 
   ∂z    =        1       . 2y
   ∂y        (x²+y²)

   ∂z    =       2y      
   ∂y        (x² + y²)


Derivada Parcial  de 2ª em função de y:

   ∂z    =       2y      
   ∂y        (x² + y²)

   ∂²z    =        2. (x² + y²) -2y.(2y)   
   ∂y²                (x² + y²)²

   ∂²z    =        2.x² + 2y² - 4y²   
   ∂y²               (x² + y²)²

   ∂²z    =        2.x² - 2y²   
   ∂y²          (x² + y²)²


Derivada Parcial  de 1ª em função de x:

     ∂³z      =       2.x² - 2y²   
   ∂x∂y²          (x² + y²)²

   ∂³z    =     ∂(∂²z)   
   ∂x∂y²     ∂x(∂y²)                

     ∂³z      =    4x².(x² + y²) - (2.x² - 2y²).2(x² + y²).2x   
   ∂x∂y²                      ((x² + y²)²)²

     ∂³z      =    4x².(x² + y²) - 4x(2.x² - 2y²).(x² + y²)   
   ∂x∂y²                    (x² + y²)4


Pode-se também simplificar a equação, aplicando distributiva:

     ∂³z      =     4x4 + 4x²y² - 4x.(2x4  + 2x²y² - 2x²y²  -2y4)   
   ∂x∂y²                          (x² + y²)4

     ∂³z      =    4x4 + 4x²y² - 4x.(2x4  -2y4)   
   ∂x∂y²                     (x² + y²)4

∂³z      =    4x4 + 4x²y² - 8x5  + 8xy4   
∂x∂y²                      (x² + y²)4

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!