Derivadas - Regras

Boa Noite Pessoa!

Irei falar um pouco sobre as regrinhas de derivadas!

A tabela abaixo mostra as derivadas "tabeladas" de algumas derivadas.

1 - Derivadas da função constante:

A derivada da função constante será sempre 0.

Exemplos: 
1) y = 7        →          y' = 0


2) y = -14           →         y' = 0


3) y =  7         →            y' = 0
       3


4) y = √14       →          y' = 0


2- Derivadas da função y = ax + b

A derivada da função y = ax +b será sempre o coeficiente linear da reta (a)

Exemplos:
f(t) = - 9t + 6          →     f' = -9


f(t) =  2t   + 6         →          f' =   2  
          3                                     3


f(t) = 5t + 2        →         f' = 5


3 - Derivada de potência de x com expoente positivo

Na derivada de potência de x com expoente positivo, o exponencial tomba multiplicando o x, e,  no exponencial faz a subtração dele por 1.

f(x) = x? → f'(x) = n.xn-1

Exemplos:

1) f(x) = x5        →         f'(x) = 5.x5-1      →        f'(x) = 5.x4

2) f(x) = 2x3        →        f(x) = 2.3x3-1       →

           12                                12            

        f(x) = 6x2         →         f(x) = x 2                        

               12                                  2

4 - Derivada de potência de x com expoente negativo

Na derivada de potência de x com expoente negativo ocorre desta forma:

f(x) = x? → f'(x) = n.x-n-1


f(x) = 2x-6           

Sempre que tombamos o exponencial negativo para multiplicar o x, deve-se somar o exponente por menos1.
     y' = 2.6x-7        →                 y' = 12x-7

O exponencial não pode ficar negativo então, x-7 tomba como denominador e o exponencial fica positivo:

 y1 =   12                
         x7  

Quando é dado por fração, o denominador sobe multiplicando e o exponente passa para negativo.

f(x) =    2             →    f(x) =   2.x-3             
           x3

 Agora que nossa equação está arrumada devemos seguir igual ao exemplo anterior:

y'=  2.x-3  

 y' = 2.3x-4          →            y' = 6x-4    →


f(x) =    6                 

            x4 

5 - Derivada da Soma e Subtração

Na derivada da Soma e subtração, usa-se as regras das derivadas dos expoentes e da derivada da função.

(f(x)' ± g(x))' = f'(x) 

Exemplo:
y = 2x² - 3x + 9

y' = 2.3x -3 + 0

y' = 6x - 3 


6 - Derivada do Produto

No Produto, deve-se na primeira multiplicação derivar o primeiro e conservar o segundo,adição, e, na segunda multiplicação deve-se conservar o primeiro e derivar o segundo, como mostrado abaixo: 


(f(x).g(x))' = f''(x).g(x) + f(x).g'(x)

Exemplo:
1) y = ex.senx

y' = ex.senx + y = ex.cosx

Podemos deixar o ex em evidência:

y' = ex(senx + cosx)


2) y = x. lnx

y' = 1.lnx + x.  1  
                    x

y'= lnx + 1
             
7 - Derivada do Quociente

Na derivação do quociente, deve-se na primeira multiplicação derivar o primeiro e conservar o segundo,subtração, e, na segunda multiplicação deve-se conservar o primeiro e derivar o segundo, em seguida divida-o pelo denominador ao quadrado.


(f(x))' =  f''(x).g(x) - f(x).g'(x)  
(g(x))                  (g(x))²

Exemplo:

1) y =   x + 1  
           x -  1

y' = 1.(x-1) - (x+1).1 
            (x-1)²

y' =  x-1-x-1  
        (x-1)²

y' =    -2     
      (x-1)²


2) y =  ex+  1  
            ex - 1  

y' = 1.(ex-1) - (ex+1).1 
          (ex-1)²

y' =  ex-1-ex-1  
        (ex-1)²

y' =    -2     
      (ex-1)²

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!