Regra da Cadeia para funções de 2 variáveis I

Para função de 1 variável tínhamos:

f(x(t))

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x   
  ∂t           ∂x         ∂t


Para Regra da Cadeia de funções de 2 variáveis:

f(x(t), y(t)

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

Primeiro deriva-se a função em função de x e em seguida deriva-se x em função do tempo, faz-se o produto da derivada da função em x pelo x derivado em função do tempo, faz-se o mesmo esquema com y, para finalizar só realizar somatória.



Exemplo 1: Se f(x,y) = x²y + 3xy², onde x = sen2t e y = cost determine df/dt quando t = 0s.

Derivando em função de x:

   ∂f    = 2xy + 3y²
  ∂x

Derivando em função de y:

   ∂f    = x² + 6xy
  ∂x

Derivando x em função do tempo:

   ∂x    = cos(2t).2
  ∂t

Substituindo t por t = 0s.

   ∂x    = cos(2.0).2
  ∂t

   ∂x    = 2
  ∂t

Derivando y em função do tempo:

   ∂y    = -sent
  ∂t

   ∂y    = -sen0
  ∂t

   ∂y    = 0
  ∂t

Substituindo na equação geral ∂f/∂t

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

   ∂y    = (2xy +3y²).2 + (6.x.y).0
  ∂t

   ∂y    = 4xy + 6y²
  ∂t

Substituindo o ''x'' e ''y'' pelas equações dadas pelo exercício:

   ∂y    = 4(sen(2t)).(cos(t)) + 6(cos(t))²
  ∂t

Substituindo pelo tempo dado t = 0s:

   ∂y    = 4(sen(2.0)).(cos(0)) + 6(cos(0))²
  ∂t

   ∂y    = 6
  ∂t

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!