Integral Iterada IV

Calcule a integral dupla abaixo, onde R = {(x,y)/ 0 ≤  x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ √x}

∫ ∫    2y   dA
 R      x² + 1

Analisando o R, temos no eixo y variação de 0 a √x, portanto devemos começar por eliminar essa incógnita da variação e para eliminá-la, começaremos integrar em função de y, para ao substituir ficarmos tudo em função de x.

1    √x
∫ ∫    2y   dydx
0  0     x² + 1

Como x é constante, tiraremos-o da integral

       √x
1/(x²-1)∫ 2ydy
      0
       
         √x    
1/(x²-1).[2y²/2]
         0

         √x    
1/(x²-1).[y²]
         0
         
1/(x²-1).[(√x)²- (0)²]
   
1/(x²-1).[x]

        

   x   
(x²-1)

Obtendo o resultado da integral em função de y, em seguida integra-se em função de x:

 1
∫     x    dx
0    (x²-1)


Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = x² + 1           du/2x = dx

1
∫    x    dx
0     u

Substituindo: 

  1
18∫    x    .    du   
  0     u          2x

Cortando o x, temos:

1
∫ ln|u| . 1/2

0

                 1
[ln|x² +1| . 1/2]
                 0

Arrumando e substituindo:
                1
1/2.[ln|x² +1|]
                0
    
1/2.[ln|(1)² +1| - ln|(0)² +1|]

1/2.[ln|2| - ln|1|]     

 1 .ln|2| 
2





Calcule a integral dupla abaixo, onde R = {(x,y)/ 0 ≤  y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y}

∫ ∫ x.√(y² - x²) dA
 R      

Analisando o R, temos no eixo x variação de 0 a y, portanto devemos começar por eliminar essa incógnita da variação e para eliminá-la, começaremos integrar em função de x, para ao substituir ficarmos tudo em função de y.

1    y
∫ ∫ x.√(y² - x²) dxdy
0  0     

       

 y
∫ x.(y² - x²)1/2 dxdy
0


Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = y² - x²           du/2x = dx

y
∫ x.(u)1/2 dx
0  

Substituindo: 

  y
∫    x.(u)1/2 .    du   
0                     2x

Cortando o x, temos:

     y
1/2∫ (u)1/2

     0

                  y
1/2[2/3(u)3/2 ]
                  0

Arrumando e substituindo:
                             y
(1/2).(2/3).[(y² - x²)3/2]
                             0
    
1/3.[(y² - y²)3/2 - (y² - 0²)3/2]

-1/3.[(y²)3/2]

-1/3.[(y)6/2]     


Obtendo o resultado da integral em função de x, em seguida integra-se em função de y:

 1
∫ -1/3.(y)6/2 dy
0

    1
-1/3∫ (y)6/2 dy
   0

                  1
-1/3.[(2/8).(y)8/2]
                  0

                       1
-(1/3). (2/8).[(y)8/2]
                       0
                             
                  1
-(1/12).[√(y)8]
         0

- (1/12).[√(1)8 - √(0)8]

- (1/12).[1]

  - 1   
   12

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!