Derivada Direcional II

Determinar a taxa de variação de f no ponto P na direção e sentido do vetor u que já está normalizado. 

O exercício já diz que o vetor u já está normalizado, portanto não será necessário calcular o versor.

1) f(x,y) = y lnx, P = (1,-3) e u =   -4   î +    3  ĵ
                                            5          5  

Derivando f(x):

f(x) =    y   
           x 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = -3/1

f(x) = -3

Derivando f(y):

f(y) =lnx

Substituindo pelos pontos:

f(x) = ln 1
f(x) = 0

grad f(1,-3) = (-3,0)

O produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (-3,0).(-4/5, 3/5)

Duf (x,y) =    12    

                  5

2)  f(x,y,z) = xe 2yz, P = (3,0,2) e u =    2   î,    -2   ĵ ,    1   k 

                                                    3         3          3 

Derivando f(x):

f(x) = e 2yz 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = e 2.0.2

f(x) = 1

Derivando f(y):

f(y) = 2zxe 2yz 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.2.3.e 2.0.2
f(x) = 12

Derivando f(z):

f(y) = 2yxe 2yz 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.0.3.e 2.0.2
f(x) = 0

grad f(3,0,2) = (1,12,0)

O produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (1,12,0).(2/3,-2/3, 1/3)

Duf (x,y) =    2    -    24    

                  3         3

Duf (x,y) =    -22   
                   3

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!