Vetor Gradiente

Seja a função dada z = f(x,y) que admite derivadas de 1ª ordem no ponto (xo,yo), então o vetor gradiente da função f no ponto (xo,yo) é dada por:

grad f(xo,yo) =    ∂f   î +    ∂f   ĵ +    ∂f   k

                            ∂x          ∂y          ∂z

O vetor gradiente indica a direção e sentido de maior crescimento e decrescimento de uma função.    

Exemplos; Encontre as direções nas quais as funções crescem e decrescem mais rapidamente em Po.

a) f(x,y) = x³ + xy + y² , Po = (-1,3)

Derivando f(x):

f(x) = 3x² + y

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 3.(-1)² + 3

f(x) = 6

Derivando f(y):

f(y) = x + 2y

Substituindo pelos pontos:

f(x) = -1 +2.3

f(x) = 5

grad f(x,y) = 6î + 5ĵ

b) f(x,y) = sen(2x) + e^(2xy), Po = (0,1)

Derivando f(x):

f(x) = 2.cos(2x) + 2y.e^(2xy)

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.cos(2.0) + 2.y.e^(2.0.1)

f(x) =  2 + 2

f(x) =  4

Derivando f(y):

f(y) = 2x.e^(2xy)

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.0.e^(2.0.1)

f(x) = 0

grad f(x,y) = 4î 

b) f(x,y,z) = x².y².z², Po = (1,2,3)

Derivando f(x):

f(x) = 2.x.y².z²

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.(1).(2)².(3)²

f(x) =  72

Derivando f(y):

f(y) = 2.x².y.z²

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.(1)².(2).(3)²

f(x) =  36

Derivando f(z):

f(y) = 2.x².y².z

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.(1)².(2)².(3)

f(x) =  24

grad f(x,y,z) = 72î + 36ĵ + 24k

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!