Integral Iterada II

Calcule a integral dupla abaixo, onde R = {(x,y)/ 0 ≤  x ≤ 1 e 3 ≤ y -3}

∫ ∫    xy²   dA
 R      x² + 1

Analisando a integral será mais fácil começarmos a integrar por y, para eliminar-la de primeira e ficarmos apenas com o y, pode-se começar a integrar por x, fica a critério de cada um, porém o resultado tem que ser o mesmo.

1   3
∫ ∫    xy²   dydx
0  -3     x² + 1

Como x é constante, tiraremos-o da integral

       3
x/(x²-1)∫ y²dy
      -3
       
         3    
x/(x²-1).[y³/3]
         -3
         
x/(x²-1).[3³/3 - (-3)³/3]
     
x/(x²-1).[9 +9]

        

   18x   
(x²-1)

Obtendo o resultado da integral em função de y, em seguida integra-se em função de x:

 1
∫    18x    dx
0    (x²-1)

Como o 18 é uma constante, vamos isolá-lo:

   1
18∫    x    dx
  0    (x²-1)  

Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = x² + 1           du/2x = dx

  1
18∫    x    dx
  0       u

Substituindo: 
 
  1
18∫    x    .    du   
  0       u          2x

Cortando o x, temos:

 1
18∫ ln|u| . 1/2

 0

                        1
18 [ln|x² +1| . 1/2]
                        0

Arrumando e substituindo:
                       1
18 . 1/2.[ln|x² +1|]
                        0
    
9.[ln|(1)² +1| - ln|(0)² +1|]

9.[ln|2| - ln|1|]     

9.ln|2|                 

Para mostrar que independente de qual irá integrar primeiro o resultado será o mesmo, mostrado os cálculos:

1   3
∫ ∫    xy²   dxdy
0  -3     x² + 1

Como y² é constante, tiraremos-o da integral:

  1
y²∫    x    dx
  0    (x²-1)


Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = x² + 1           du/2x = dx

  1
y²∫    x    dx
  0       u

Substituindo: 

  1
y²∫    x    .    du   
  0       u          2x

Cortando o x, temos:

 1
y²∫ ln|u| . 1/2

 0

                        1
y² [ln|x² +1| . 1/2]
                        0

Arrumando e substituindo:
                       1
y² . 1/2.[ln|x² +1|]
                        0
    
y²/2.[ln|(1)² +1| - ln|(0)² +1|]

y²/2.[ln|2| - ln|1|]     

   y².ln|2|                 

     2

Obtendo o resultado da integral em função de x, em seguida integra-se em função de y:

3

∫    y².ln|2|    dy          
-3        2

Como o ln|2|/2 é uma constante, vamos isolá-lo:

       

     3

  ln|2|  .∫ y² dy          
   2    -3

              3    
  ln|2|  .[y³/3]
     2       -3

Substituindo
             
  ln|2|  .[3³/3 - (-3)³/3]
     2  

  ln|2|  .[9 +9]

      2  

  ln|2|.18  

      2  

9.ln|2|        

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!