Boa Noite Pessoal!
Hoje falarei um pouco sobre definição de derivadas e citarei um exemplo!
Bom, antes de mais nada, para que iremos usar derivadas?
Usamos derivada para calcular taxa de crescimento econômico do país, taxa de variação de temperaturas, taxa de crescimento de uma população, enfim, há inúmeros exemplos onde poderíamos aplicar uma função variante e qual a medida da variação em um determinado instante.
Vamos ver a definição da derivada de uma função em um determinado ponto.
A derivada de uma determinada função em um ponto x0 irá nos fornecer a taxa de variação instantânea de f em x0 e isto ocorre da seguinte maneira:
Uma determinada função y = f(x), onde x irá variar de x0 até x1, então iremos representar variação de x e y assim:
Em x: ∆x = x1 - x0.
Em y: ∆y = f(x1) - f(x0)
A figura a seguir ilustra a nossa situação:
Pessoal, espero que tenham gostado e curtido, fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!
Hoje falarei um pouco sobre definição de derivadas e citarei um exemplo!
Bom, antes de mais nada, para que iremos usar derivadas?
Usamos derivada para calcular taxa de crescimento econômico do país, taxa de variação de temperaturas, taxa de crescimento de uma população, enfim, há inúmeros exemplos onde poderíamos aplicar uma função variante e qual a medida da variação em um determinado instante.
Vamos ver a definição da derivada de uma função em um determinado ponto.
A derivada de uma determinada função em um ponto x0 irá nos fornecer a taxa de variação instantânea de f em x0 e isto ocorre da seguinte maneira:
Uma determinada função y = f(x), onde x irá variar de x0 até x1, então iremos representar variação de x e y assim:
Em x: ∆x = x1 - x0.
Em y: ∆y = f(x1) - f(x0)
A figura a seguir ilustra a nossa situação:
A nossa taxa média de variação de y por variação de x, no intervalo (x0,x1) será:
∆y = f(x1) - f(x0)
∆x x1 - x0
Onde:
f(x1) = (xo + ∆x)
x1 - x0 = ∆x
Portanto teremos:
∆y = f(x1) - f(x0) -------> ∆y = f(x0 +∆x ) - f(x0)
∆x x1 - x0 ∆x ∆x
Agora vamos aplicar o conceito no exemplo abaixo.
A posição de uma partícula em movimento sobre uma reta r é dada por m(t) = t² - 8t, onde m(t) é medida em metros e t em segundos.
a) Determinar a velocidade em um instante t = a qualquer.
Vm = m(a+ ∆t) - m(a)
∆t
Vm = ((a+∆t)² - 8(a + ∆t) - (a² -8a))
∆t
Vm = a² 2a∆t + ∆t² - 8a - 6∆t - a² + 8a
∆t²
Vm = 2a∆t + ∆t²- 8∆t
∆t²
Vm = 2a + ∆t- 8
Velocidade instantânea = lim (2a + ∆t- 6) --> 2a - 8
∆t → 0
b) Determinar a velocidade da partícula em t=0 e t=7.
t = 0 --> v(0) = 2*(0) - 8 --> -8 m/s
t = 7 --> v(0) = 2*(7) - 8 --> 6m/s
c) Determinar os intervalos de tempo durante os quais a partícula se move no sentido positivo e negativo sobre r.
Para m mover no sentido positivo terá que se mover para a direita, então temos:
2a - 8 > 0 --> a > 8/2 --> a > 4
t ϵ (-∞,4)
Para m mover no sentido negativo terá que se mover para a esquerda, então temos:
2a - 8 < 0 --> a < 8/2 --> a < 4
t ϵ (-∞,4)
d) Em que instante a velocidade é nula?
A velocidade será nula após 4 segundos.
V(a) = 0
2a - 8 = 0 --> a = 8/2 --> a = 4 s
Qualquer dúvidas é só perguntarem nos comentários!
Pessoal, espero que tenham gostado e curtido, fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!
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