₵υℓƭυπα ƐχαtαƧ: 2014

segunda-feira, 29 de dezembro de 2014

Integrais Duplas sobre uma região genérica

Existem dois tipos de regiõe sgenéricas

Região Tipo 1:

f1(x) ≤ y ≤ f2(x)
a ≤ x ≤ b

Integral:
a f2
∫ ∫ f(x,y)dydx
b f1

Região Tipo II:

g1(y) ≤ x ≤ g2(y)
c ≤ y ≤ d

Integral:

a g2
∫ ∫ f(x,y)dxdy
b g1

Exemplo:
∫ ∫ (x + 2y) dA
R
Onde R é a região limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1 + x²:

Temos duas parábolas que irão delimitar a região, a primeira parábola parte do ponto 0 em y e a segunda parte do ponto 1 em y, como mostrado na figura abaixo:

Para determinar o ponto de intersecção em x igualaremos as parábolas:

2x² = 1 + x²

x² = 1

x = ± 1

Portanto, em x irá variar de -1 a +1.

Para determinar se será Tipo 1 ou Tipo II, basta só observar o gráfico:

Ambas estão paralelas em função do eixo y, portanto será Tipo 1.

Não poderá ser tipo II, pois ao analisar o gráfico a parábola y = 2x² não estará em paralela com a parábola y = 1 + x².

1 + x² ≤ y ≤ 2x²
-1 ≤ x ≤ 1

1 1+x²
∫ ∫ (x + 2y)dydx
-1 2x²

1 + x²
∫ (x + 2y)dy
2x²

1+ x²
[(xy + y²)]
2x²

[x(1 + x²) + (1 + x²)²] - [x(2x²) + (2x²)²]

Não esquecer de aplicar distributiva em (1 + x²)².

[x + x³ + 1 + 2x² + x^4] - [2x³ + 4x^4]

[x + x³ + 1 + 2x² + x^4 - 2x³ - 4x^4]

[x - x³ + 1 + 2x² - 3x^4]

Obtendo o resultado da integral em função de y, em seguida integra-se em função de x:

1
∫ [x - x³ + 1 + 2x² - 3x^4]dx
-1

1
[(x²/2) - ((x^4)/4) + x + (2x³/3) - ((3x^5)/5)]
-1

[(1²/2) - ((1^4)/4) + 1 + (2.(1)³)/3 - ((3.(1)^5)/5)] - [((-1)²/2) - ((-1)^4)/4 + (-1) + (2.(-1)³)/3 - ((3.(-1)^5)/5)]

1/2 - 1/4 + 1 + 2/3 -3/5 - 1/2 + 1/4 + 1 + 2/3 -3/5

2 + 4/3 - 6/5

30 + 20 - 18
15

32

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido, fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!

terça-feira, 15 de julho de 2014

Desafio: 10 soldados!

Desafio: Distribuir 10 soldados em 5 filas, sendo que cada fila deverá ter 4 soldados?

Ai está a única e possível resposta!

Resposta: Pentágono estrelado.

Cada ponto vermelho representa um soldado!

Pessoal, espero que tenham gostado, entendido e curtido, agora é só sair perguntando para os amigos, fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!

sábado, 12 de julho de 2014

Dubai: Burj Al Arab

A obra é assinada pelo arquiteto Tom Wright da WS Atking PLC que se inspirou no típico barco árabe, o "dhow", atendendo assim as exigências do xeque Said Khalil, que queria um projeto que fosse não apenas ícone da cidade, mas ícone mundial.

Dhow

O hotel foi construído em uma ilha artificial a 280 metros da costa, com uma estrutura de concreto e três níveis no subsolo, cuja construção foi de 2 anos, para que a água não invada a ilha foi feita uma superfície inclinada e perfurada que absorve o impacto das ondas. A construção do hotel iniciou-se em 1994 e foi concluída em outubro de 1999, mas só foi inaugurado em dezembro do mesmo ano.

O custo de construção do mais luxuoso hotel sete estrela do mundo - Burj Al Arab foi de 650 milhões de dólares. A área construída é de 111500 m², 321 metros de altura, possui 28 andares e cada um com pé-direito duplo de 7 metros. Sua estrutura é feita de aço, garantindo sustentação e beleza ao edifício. Foram empregados na construção mais de 70.000 m³ de concretos e 9.000 toneladas de aço apenas para erguer a torre.

Devido a temperatura alta da região, o edifício passou por um processo de resfriamento durante o 3º e 6º mês de construção, evitando que se formassem grandes quantidades de nuvem de chuva sobre o hotel durante o período de construção.

O esqueleto da estrutura metálica é formado por pilastras curvadas de 85 metros ajudando na proteção do edifício dos efeitos do vento e dando o formato espetacular em forma de veleiro. As duas colunas que partem do chão em forma de "V" forma um imenso mastro,e, nos espaços entre elas foram erguidos os andares.

1 – Quadro do Exoesqueleto; 2 – Armação; 3 – Espinha Central; 4 – Membrana

Fachada e Interior do Hotel

A fachada em forma de veleiro ancorado foi produzida em tela dupla de vidro revestida com 8.800 m² de teflon mantendo a luminosidade e amenizando o calor com vãos de 50 cm entre os vidros.

Durante o dia a fachada mantém-se branca e durante a noite é usada para formar um arco-íris de luzes artificiais.

O átrio central do Hotel é o mais alto do mundo, medindo 182 metros de altura e possui jatos que alcançam até 30 metros de altura.

No interior a cor dourada proveniente do ouro predomina, seja nos mosaicos dos pisos e paredes, nas molduras dos quadros e elevadores, metais, detalhes e nos objetos decorativos. Os sofás são suntuosos e os macios tapetes e carpetes são feitos à mão.

No hall do Hotel há uma deslumbrante fonte de vários lances feita de fibra de vidro que soltam jatos d'água que alcançam até 50 metros de altura, numa sincronizada coreografia e iluminada com 142 holofotes que cambiam de cor.

Para manter uma das fontes pegando fogo, a empresa Wet Design desenvolveu uma tecnologia que utiliza oxigênio para mantê-la 24 acessa, tal projeto foi estudado durante 1 ano para desenvolverem uma maneira de unir o fogo à água. Para completar a exuberante beleza do hall, há altíssimos aquários com peixes de água salgada.

Próximo da escada rolante, há 142 jatos d'água exatamente iguais imitam um laser como fibra ótica, a luz passa pela água mudando-a de cor. Este complexo de jatos é chamado de Pirâmide.

Os felizardos hóspedes são contemplados com um restaurante submarino, com passagem subterrânea debaixo d´água que oferece um vista perfeita de um aquário de golfinhos a 60 metros abaixo das águas do golfo Pérsico.

O restaurante Al Muntaha está localizado a 200 metros acima do Golfo Pérsico, oferecendo uma grandiosa vista completa de Dubai.

As suítes "menores" tem 170 metros quadrados, e as mais luxuosas ocupam uma área quatro vezes maior. Todas são no padrão duplex, com um privilegiada vista para o Golfo Pérsico, e vêm equipadas com laptos, TV's de plasma de 42 polegadas e um menu que permite ao hóspede escolher entre 13 opções de travesseiros. Cada andar há um mordomo à disposição dos hóspedes 24 horas por dia.