Integrais Duplas sobre uma região genérica

Existem dois tipos de regiõe sgenéricas

Região Tipo 1:

f1(x)  ≤  y ≤ f2(x) 
a ≤ x ≤ b

Integral:
a  f2
∫ ∫ f(x,y)dydx
 b  f1



Região Tipo II:

g1(y)  ≤  x ≤ g2(y) 
c ≤ y ≤ d

Integral:

a  g2
∫ ∫ f(x,y)dxdy
b  g1


Exemplo: 
∫ ∫ (x + 2y) dA
 R      
Onde R é a região limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1 + x²:

Temos duas parábolas que irão delimitar a região, a primeira parábola parte do ponto 0 em y e a segunda parte do ponto 1 em y, como mostrado na figura abaixo:



Para determinar o ponto de intersecção em x igualaremos as parábolas:

2x² = 1 + x²

x² = 1

x = ± 1

Portanto, em x irá variar de -1 a +1.

Para determinar se será Tipo 1 ou Tipo II, basta só observar o gráfico:

Ambas estão paralelas em função do eixo y, portanto será Tipo 1.

Não poderá ser tipo II, pois ao analisar o gráfico a parábola y = 2x² não estará em paralela com a parábola y = 1 + x².

1 + x² ≤  y ≤ 2x²
-1 ≤ x ≤ 1

1    1+x²
∫ ∫ (x + 2y)dydx
-1  2x²     

1 + x²
∫ (x + 2y)dy
 2x²   
    
         1+ x²
[(xy + y²)]
          2x²


[x(1 + x²) + (1 + x²)²] - [x(2x²) + (2x²)²]

Não esquecer de aplicar distributiva em (1 + x²)².

[x + x³ + 1 + 2x² + x^4] - [2x³ + 4x^4]

[x + x³ + 1 + 2x² + x^4 - 2x³ - 4x^4]

[x - x³ + 1 + 2x² - 3x^4]

Obtendo o resultado da integral em função de y, em seguida integra-se em função de x:

  1
∫ [x - x³ + 1 + 2x² - 3x^4]dx
 -1

                                             1
[(x²/2) - ((x^4)/4) + x + (2x³/3) - ((3x^5)/5)]
                                            -1

[(1²/2) - ((1^4)/4) + 1 + (2.(1)³)/3 - ((3.(1)^5)/5)] - [((-1)²/2) - ((-1)^4)/4 + (-1) + (2.(-1)³)/3 - ((3.(-1)^5)/5)]

1/2 - 1/4  + 1 + 2/3 -3/5 - 1/2 + 1/4 + 1 + 2/3 -3/5

2 + 4/3 - 6/5

   30  + 20 - 18  
        15

  32  

  15

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!