Exercícios Probabilidade - Parte I

(FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é:

                      

(A) 3/25               (B) 7/50            (C) 1/10         
(D) 8/50              (E) 1/5

Solução. O espaço amostral (Ω) possui 50 elementos. O número de múltiplos de 8, pode ser calculado utilizando a progressão aritmética de razão 8, com a₁ = 8 (1º múltiplo) e a_n = 48 (último múltiplo).

48 = 8 + (n -1).8

48 = 8  + 8n - 8

n = 48/8

n = 6

O número de elementos do evento E (múltiplos de 8) é n(E) = 6. Logo, 

P(E) = 6/50  = 3/25

No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par?

(A) 1/6              (B) 1/2           (C) 1/3         
(D) 2/5              (E) 2/3

Solução1. O espaço amostral para um lançamento de dados é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como foi informado queo resultado é maior que 3, o espaço amostral fica reduzido para {4, 5, 6}. Neste espaço, os resultados pares são 4 e 6. Logo:

P (par > 3) = 2/3 

Solução2. Utilizando a fórmula para a probabilidade condicional, temos:

i) E = {resultado maior que 3} = {4, 5, 6}; ii) E’ = {resultado par} = {2, 4, 6}; iii) E ∩ E’ = {4, 6}

Logo, 

P(E'/E) =    P(E∩E)    =    (2/6)    =    2   .   6    =    2   

                     P(E)               (3/6)          6       3           3

  

Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B?

(A) 75%             (B) 60%             (C) 50%      
(D) 45%             (E) 30%

Solução. Utilizando a teoria de conjuntos, temos:

n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 400 + 300 – 200 = 500.

Logo, 

P(A U B) =    500    =    1    = 50%

                     1000          2

Uma pessoa joga uma moeda quatro vezes, qual a probabilidade de sair CARA nas quatro jogadas?

(A) 1/2            (B) 1/4           (C) 1/8                  
(D) 1/16          (E) 1

Solução1. O espaço amostral para essas jogadas possuirá 2⁴ = 16 elementos. O evento CCCC ocorrerá somente uma vez. Logo,

P(CCCC) = 1/16

Solução2. Como as jogadas são independentes, isto é, um resultado não depende do outro, temos pelo teorema da multiplicação: 

P(C ∩ C ∩ C) = P(C).P(C).P(C).P(C) 

   1   .   1   .   1   .   1   =   1  

  2       2        2     2         16 

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Cos²α e Cos(2α)... O que fazer? Eis a questão!!!

Hoje vamos tirar dúvidas para saber a diferença de como calcular Cos²α e Cos(2α). 


Para começarmos, adotaremos α = 30º

1º Exemplo: Cos²α, que é a mesma coisa que:

 Cos²α = Cosα x Cosα

Substituindo, temos:

 Cos²30º = Cos30º x Cos30º

 Cos²30º = 0,75


2º Exemplo: Cos2α:

 Cos2α = Cos(2x30º)   =  Cos60º  =   0,50

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Prédio mais alto do mundo: Burj Khalifa

A construção do Burj Khalifa começou no dia 21 de Setembro de 2004 e foi concluída em 1 º de outubro de 2009. Inaugurado oficialmente no dia 04 de Janeiro de 2010. tem 828 metros de altura e 168 andares, podendo ser visto com até 95km de distância.

Durante a obra era chamado de Burj Dubai, que em árabe significa Torre de Dubai, mas no dia da inauguração seu nome foi modificado para Burj Khalifa em homenagem ao presidente dos Emirados Árabes, Khalifa Nahyan.  

O designer e criador foi o arquiteto mexicano-americano Adrian D. Smith, a inspiração do projeto foi baseado na forma geométrica de uma flor.

O orçamento total da obra é em torno de 4,1 bilhões de dólares.

 

 

Construção

A fundação de concreto e aço possui 192 pilares de 1,5 metro de diâmetro por 43 metros de profundidade, enterrado a mais de 50 metros de profundidade, foi usado mais de 45.000 m³ de concreto, que pesam mais de 110 mil toneladas

A construção do Burj Khalifa usou 330.000 m³ de concreto e 39.000 toneladas de vergalhões de aço e a sua construção consumiu 22 milhões de homens-horas.

Nas estruturas do arranha-céu foi utilizado um concreto armado de alta densidade e baixa permeabilidade até o andar 156, sendo que acima, aplicou-se principalmente aço estrutural, o steel frame e utilizaram reforços pré-moldados nas paredes para fins de simplificação do processo construtivo.

Nos níveis superiores foram utilizados três guindastes de torre capazes de levantar uma carga de 25 toneladas.

Fachada

            A fachada é constituída por uma mescla de pele de alumínio e vidros de alto desempenho oferecendo um isolamento térmico eficaz da edificação. Foi utilizada cerca de 26 mil painéis, totalizando aproximadamente 170.000 m².

Curiosidades

– O deque de observação “At The Top” do Burj Khalifa, localizado no 124^o andar, é uma das principais atrações turísticas da cidade. Do topo, pode-se ver uma vista em 360^o do oceano, do deserto e da cidade;

– Visto de cima, o Burj Khalifa forma uma flor-de-lis;

– É necessário pelo menos 4 meses para limpar todas as janelas de Burj Khalifa;

– Os aços utilizados na construír Burj Khalifa, daria para construir uma ponte chegando até 1/4 do planeta Terra (Dos Estados Unidos ao Oriente Médio);

- Burj Khalifa possui 57 elevadores e 8 escadas rolantes. O elevador de serviço possui uma capacidade de 5.500 kg e é considerado o elevador de serviços mais alto do mundo, também possui elevadores programados para permitir uma evacuação controlada causada por fogo ou por certos eventos de segurança.

Documentário: Obras Incriveis - Burj Khalifa - National Geographic (HD)

https://www.youtube.com/watch?v=34qPrGW2mWM

As melhores fotos do Burj Khalifa

 

  

 

 

 

Referências Bibliográficas:

https://pt.wikiarquitectura.com/index.php/Burj_Khalifa

https://construcaocivilpet.wordpress.com/2012/10/17/maravilhas-da-engenharia-2-burj-khalifa-o-predio-mais-alto-do-mundo/

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