Exercícios Probabilidade - Parte I

(FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é:

                      

(A) 3/25               (B) 7/50            (C) 1/10         
(D) 8/50              (E) 1/5

Solução. O espaço amostral (Ω) possui 50 elementos. O número de múltiplos de 8, pode ser calculado utilizando a progressão aritmética de razão 8, com a₁ = 8 (1º múltiplo) e a_n = 48 (último múltiplo).

48 = 8 + (n -1).8

48 = 8  + 8n - 8

n = 48/8

n = 6

O número de elementos do evento E (múltiplos de 8) é n(E) = 6. Logo, 

P(E) = 6/50  = 3/25

No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par?

(A) 1/6              (B) 1/2           (C) 1/3         
(D) 2/5              (E) 2/3

Solução1. O espaço amostral para um lançamento de dados é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como foi informado queo resultado é maior que 3, o espaço amostral fica reduzido para {4, 5, 6}. Neste espaço, os resultados pares são 4 e 6. Logo:

P (par > 3) = 2/3 

Solução2. Utilizando a fórmula para a probabilidade condicional, temos:

i) E = {resultado maior que 3} = {4, 5, 6}; ii) E’ = {resultado par} = {2, 4, 6}; iii) E ∩ E’ = {4, 6}

Logo, 

P(E'/E) =    P(E∩E)    =    (2/6)    =    2   .   6    =    2   

                     P(E)               (3/6)          6       3           3

  

Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B?

(A) 75%             (B) 60%             (C) 50%      
(D) 45%             (E) 30%

Solução. Utilizando a teoria de conjuntos, temos:

n(A È B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 400 + 300 – 200 = 500.

Logo, 

P(A U B) =    500    =    1    = 50%

                     1000          2

Uma pessoa joga uma moeda quatro vezes, qual a probabilidade de sair CARA nas quatro jogadas?

(A) 1/2            (B) 1/4           (C) 1/8                  
(D) 1/16          (E) 1

Solução1. O espaço amostral para essas jogadas possuirá 2⁴ = 16 elementos. O evento CCCC ocorrerá somente uma vez. Logo,

P(CCCC) = 1/16

Solução2. Como as jogadas são independentes, isto é, um resultado não depende do outro, temos pelo teorema da multiplicação: 

P(C ∩ C ∩ C) = P(C).P(C).P(C).P(C) 

   1   .   1   .   1   .   1   =   1  

  2       2        2     2         16 

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Cos²α e Cos(2α)... O que fazer? Eis a questão!!!

Hoje vamos tirar dúvidas para saber a diferença de como calcular Cos²α e Cos(2α). 


Para começarmos, adotaremos α = 30º

1º Exemplo: Cos²α, que é a mesma coisa que:

 Cos²α = Cosα x Cosα

Substituindo, temos:

 Cos²30º = Cos30º x Cos30º

 Cos²30º = 0,75


2º Exemplo: Cos2α:

 Cos2α = Cos(2x30º)   =  Cos60º  =   0,50

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