Hoje irei falar sobre um assunto que muitos alunos odeiam e não entendem: Logaritmo!
Antes de mais nada, quero pedir aos caros leitores que guardem o valor de cada log apresentado abaixo:
log 1 = 0
log 2 = 0,30
log 3 = 0,48
log 4 = 0,60
log 5 = 0,70
log 6 = 0,78
log 7 = 0,85
log 8 = 0,90
log 9 = 0,95
Após decorar a tabela vamos calcular o log de 4567.
Antes de mais nada teremos que colocar o 4567 em notação científica (caso os caros leitores não se lembram de como colocar em notação científica, é só clicar neste link que os levará diretamente à explicação de notação científica: http://culturaexatas.blogspot.com.br/2013/08/notacao-cientifica.html).
4567 = 4,567 x 10 3 O número exponencial é 3, já estamos a meio caminho da solução. Sempre teremos que memorizar o log do primeiro número que no nosso caso é o 4, log de 4 é 0,60. Realizando a somatória = número exponencial + log do primeiro número. 3+ 0,60 = 3,60 Portanto log de 4567 é 3,60 Conferindo o resultado em uma calculadora obtivemos 3,65963101161. Lembrando aos caros leitores que a diferença ocorre da segunda casa decimal em diante, isto nos mostra que o método que empregamos é valido. Agora apresentarei a vocês um método mais preciso, chamado de Interpolação Linear. Vamos calcular logaritmo de 2,5. O número 2,5 está entre o 2 e o 3, então veremos na tabela o logaritmo de 2 e 3. log2 = 0,30 log3 = 0,48. Para que o 2,5 possa chegar ao três, nos falta 0,5 (1/2), então pegaremos este valor (1/2) para usarmos na seguinte fórmula. log x = logx - (logx - logy)/2 logx será o log maior, que neste caso é o log 3 = 0,48, e o logy será o log menor, que neste caso é log2 = 0,30. O 1/2 neste caso é a quantidade que o número dado (2,5) falta para chegar no número maior (3,0).
log2,5 = log3 - (log3-log2)/2 log2,5 = 0,48 - (0,48 - 0,30)/2 log2,5 = 0,48 - (0,18)/2 log2,5 = 0,48 - 0,09 log2,5 = 0,39 Pela calculadora obtivemos log2,5 = 0,397940008 Vamos complicar mais um pouquinho? Vamos calcular o logaritmo de 2300. Lembrando que o número 2300 está entre o 2000 e o 3000, então usaremos a primeira explicação dada para calcularmos os logaritmos de 2000 e 3000.
log2000 = ??????
2000 = 2x10 3 Guardemos o número exponencial (3), e faremos o logaritmo de 2 que é 0,30. 3 + 0,30 = 3,30 Portanto, log2000 = 3,30
log3000 = ???? 3000 = 3x10 3
Guardemos o número exponencial (3), e faremos o logaritmo de 3 que é 0,48. 3 + 0,48 = 3,48 Portanto, log3000 = 3,48
Agora para que o 2300 possa chegar ao 3000, nos falta 700, ou seja 7/10 para completar 3000, então pegaremos este valor (7/10) para aplicarmos na fórmula. log2300 = log3000 - 7*(log3000 - log2000)/10 log2300 = 3,48 - 7*(3,48 - 3,30)/10 log2300 = 3,48 - 7*(0,18)/10 log2300 = 3,48 - 1,26/10
Agora o grupo Cultura Exatas está com uma grande novidades: lançamento de Videoaulas e mais exercícios!!!
Bom... Hoje irei tratar de um assunto que muitas
pessoas se confundem e/ou se desesperam em provas ou vestibulares!
Seno
ou Cosseno? Qual eu devo usar?
Apresentarei a vocês caros leitores duas maneiras infalíveis
que jamais irão esquecer.
Antes de mais nada irei apresentar uma tabela com três
ângulos mais usado para cálculos usando seno, cosseno e tangente.
Pronto! Agora podemos seguir com nosso probleminha.
Certa
vez um pedreiro apoiou uma escada de 2 metros na parede fazendo um ângulo de
30º com o chão e pensou:
“Qual é a altura que a escada alcançou na parede? Qual
será a distância da parede até ao pé da escada?”
Como resolveremos?
Temos duas informações importantes que é o angulo
que a escada faz com o chão e o comprimento da escada.
Vamos
primeiramente calcular a altura da parede. Mas e agora o que faremos para achá-la? Usaremos
seno ou cosseno para encontrar a altura?
Para isso usaremos as fórmulas apresentadas na
imagem ao lado.
Há dois caminhos para chegarmos à conclusão de seno
e cosseno, então:
Quando um ângulo não estiver
passando pelo cateto que queremos descobrir o valor usa-se o seno.
Agora
irei explicar a vocês de uma maneira mais descolada.
Temos que achar a
altura da parede que é o cateto oposto ao ângulo, certo? Este ângulo está em
pé, portanto ele está “sem sono”, então se está sem sono ele está seno.
A figura ao lado representa o nosso probleminha. Apresentando os cálculos temos: sen30º = x (altura da parede) 2 x(altura da parede) = sen30º*2 x(altura da parede) = 1*2
2 x(altura da parede) = 1 metro Uhuuuull!! Conseguimos achar a altura da parede, agora vamos achar a distância?
Descobrindo a distância da parede até a
escada.
Quando um ângulo estiver
passando pelo cateto que queremos descobrir o valor usa-se o cosseno.
Agora voltando para a maneira descolada temos:
Temos que achar a
distancia da parede até a escada que é o cateto adjacente ao ângulo, certo? Este
ângulo está deitado, portanto ele está “com sono”, então se está com sono ele
está cosseno.
A figura ao lado representa o nosso probleminha.
Apresentando os cálculos temos: Para facilitar os cálculos adotaremos o cos30º = √3/2 como 0,866.
cos30º = x (altura da parede) 2 x(altura da parede) = cos30º*2 x(altura da parede) = 0,866*2
x(altura da parede) = 1,73 metros Uhuuuull Maravilha!! Conseguimos solucionar!!! Mas e se porventura o ângulo dado fizesse angulo de 60º com a parede como mostrado na figura 1, o que faríamos?
Simples meus jovens heheh é só inverter o desenho como na figura 2 e seguir o que foi aplicado no calculo que fizemos.
Figura 1
Figura 2
Pessoal, espero que tenham entendido e curtido, fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!
Uma das Maravilhas da Engenharia construídas no século é arquipélago Palm Islands. O arquipélago é formado por três ilhas artificiais em forma de palmeiras, a Palm Jumeirah , a Palm Jebel Ali e a Palm Deira., e, uma ilha em formato do mapa-múndi, conhecida como The World As ilhas artificiais, maiores do mundo e com os maiores projetos que já se viu, se encontram em Dubai nos Emirados Árabes Unidos. Elas foram construídas com o fim de alavancar ainda mais o turismo na região.
A economia do país era baseada na extração do petróleo e com a perspectiva de fim das reservas, viu-se no turismo uma saída econômica. A ideia era triplicar o número de turistas, de 5 milhões para 15 milhões, no entanto a pequena extensão territorial e a aridez da região eram um entrave. Dentre as inúmeras mega construções com fins turísticos, resolveu-se construir a primeira ilha que hoje compõe o arquipélago, a Palm Jumeirah, que aumentou em 56 Km a costa de Dubai que era de apenas de 72 Km.
O extraordinário plano era construir uma cidade na ilha, com centros comerciais, restaurantes, hotéis, apartamentos e casas. Para tanto, contratou-se a Nakheel Properties, uma empresa de imóveis dos Emirados Árabes Unidos. Para a construção foi convocada a empreiteira holandesa Van Oord , uma dos maiores especialistas do mundo na recuperação de terras, para panejar a dragagem marinha. O início da mega obra deu-se em 2001, tendo o seu fim projetado para entre 2011 e 2016. No entanto, já em 2006 os primeiros proprietários começaram a mudar-se para a ilha e em 2009 já estava em total funcionamento. O sucesso foi tão grande resolveu-se construir as duas outras ilhas a Palm Jebel Ali e a Palm Deira.
Desafios na Construção: Engenho e Arte
As ilhas são circundadas por quebra-mares em forma de lua crescente que diminuem o impacto das ondas. Foram levados em consideração para a construção de tais estruturas a força das ondas na região, as marés, os ventos e até mesmo os efeitos do aquecimento global. A areia dos quebra-mares foi revestida por um geotêxtil permeável que evita erosões.
Apesar da abundância de areia na região, a disponibilidade desse material foi um desafio. A areia dos desertos próximos não poderia ser utilizada, pois era muito fina e caso fosse usada, a ilha poderia literalmente se desmanchar. Foi necessário, portanto, uma seleção minuciosa do material.
A estrutura das ilhas foi fundada por um processo de dragagem. As dragas retiram a areia do fundo do mar e a depositam em camadas até que fosse atingida a altura ideal. As coordenadas tinham que ser minuciosamente calculadas e as dragas precisamente posicionadas para que o jato de areia atingisse o local correto. Por cima da areia foi colocada uma camada de pedras e duas camadas de rochas grandes (de até seis toneladas cada), que protegem a estrutura. Cada pedra foi colocada individualmente por um guindaste, e suas posições foram cuidadosamente calculadas por coordenadas de GPS, obtidas a partir de um satélite particular, garantindo o formato complexo das ilhas.
Para evitar o fenômeno da liquefação, que poderia ser ocasionado caso a região fosse atingida por um terremoto, levando à completa destruição da ilha, ela precisou ser compactada. Para isso, antes que fossem construídas as casas, o solo teve que passar pelo processo de vibro-compactação. O processo consiste na perfuração do solo por sondas (mais de 200 mil buracos), as sondas liberam água com alta pressão e ar no solo e então a broca vibra, agitando o solo ao redor.
Outro problema que surgiu foi que os quebra-mares poderiam estagnar a água dentro da ilha, não permitindo a sua renovação. Para resolver isso foram feitas aberturas laterais nos quebra-mares permitem que a água circule totalmente a cada 13 dias.
Os números incríveis e as curiosidades
As ilhas são tão grandes que podem ser vistas do espaço. Suas dimensões:
A Palm Jumeirah tem 5 km de comprimento e 5,5 km de largura.
A Palm Jebel Ali tem 7 km de comprimento e 7,5 km de largura.
A Palm Deira tem 14 km de comprimento e 8,5 km de largura.
Para dar forma à primeira ilha, a PalmJumeirah, que é a menor das três, foram utilizados 94 milhões de metros cúbicos de areia. Se juntássemos toda areia e rocha utilizadas seria possível erguer uma parede de 2,5 metros ao redor da Terra. Só o quebra-mar da PalmJumeirah tem mais de sete milhões de toneladas de rocha.
O projeto de recuperação para a Palm Jebel Ali incluiu a criação de uma península de quatro quilômetros de extensão, protegida por um de 200 metros de largura, 17 km quebra-mar de longo-circular. Há 210 milhões de metros cúbicos de rocha, areia e calcário que foram recuperados. Há aproximadamente 10 milhões de metros cúbicos de rochas nas obras de proteção de encostas.
A Palm Deira, maior das ilhas, é tão grande que com um quarto da área total construída já havia sido utilizado 300 milhões de metros cúbicos de areia.
Uma curiosidade é que os calçadões que rodeiam as folhas da palmeira na Palm Jebel Ali formam as letras de um poema árabe (em árabe) com os seguintes dizeres:
“Tome a sabedoria dos sábios
É preciso um homem de visão para escrever sobre a água
Nem todo mundo que monta um cavalo é um jóquei
Grandes homens sobem para desafios maiores.”
O Arquipélago The Word que forma o desenho do Mapa-Múndi ainda está em construção. Estas ilhas já estão sendo vendidas entre 6,2 a 36,7 milhões de dólares. A maior parte das ilhas já foi comprada por investidores de todo o mundo.
Documentário Obras Incríveis - Ilhas Artificiais Dubai
a) a equação da trajetória;
Para determinarmos a equação da trajetória sabemos
→ → →
que r(t) = x.i + y.j, ou seja, temos duas equações paramétricas da trajetória que são:
x = 5.t
y = 16.t4
Eliminaremos nossa variável tempo, para obtermos nossa equação da trajetória.
t = x
5
Substituindo na equação paramétrica y:
y = 16.(x/5)t4 y = 16. x4 625
y = 0,0256.x4
b) o vetor velocidade em função do tempo;
Para chegar-se ao vetor velocidade em função do tempo deve-se derivar a equação vetor posição dada pelo exercício:
→ → →
r(t) = 5.t.i + 16.t4.j
→ → →
v(t) = 5.i + 64.t³j
c) o vetor aceleração em função do tempo;
Para chegar-se ao vetor aceleração em função do tempo deve-se derivar a equação vetor velocidade determinada na questão b
→ → →
v(t) = 5.i + 64.t³j
→ →
a(t) = 192.t²j
Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!
Para explicarmos
à vocês sobre esse tema, iremos começar aplicando um simples exemplo
João deve comprar 147,50 metros de amare para consertar a cerca de
sua fazenda. Sabendo-se que, a cada 2 metros de arame é R$ 4,20, qual o valor a
ser pago por João?
Calculando:
- A cada 1 metro de arame é igual R$ 4,20, ou seja, 1m = R$4,20;
- 147,50 metros é igual a R$ ???, ou seja, 147,50m = R$ y (o “y” será
nossa incógnita, porque ainda não sabemos qual o valor a ser pago por João.
Montando a equação:
2m -------------------------- R$4,20
147,50m ------------------- R$ y
Observem
que, na regra de três deve-se respeitar unidade embaixo da mesma unidade, ou
seja, metro embaixo de metro, e, Reais embaixo de Reais. O sistema funciona
igual a uma tabela:
Metro
Valor
a ser pago
2
R$ 4,20
147,50
R$ y
Tendo
o sistema pronto, vamos partir finalmente para o cálculo, JAMAIS ESQUEÇAM que em regra de três temos que SEMPRE multiplicar em CRUZ,
igual ao representado na figura abaixo:
2m x R$ y = 147,50m x R$ 4,20
- 2 vezes y é 2y;
- 147,50 vezes 4,20 é 619,50;
Portanto:
2y = 619,50
Para isolarmos a
incógnita vamos passar o 2 dividindo o outro termo:
Lembre-se: Se um número
está multiplicando uma incógnita, deve-se passar o número dividindo o outro
termo, se um número está dividindo uma incógnita, deve-se passar o número multiplicando
o outro termo.
y = 619,5/2
y = 309,75
Portanto, João irá
pagar R$ 309,75 em 147,50 metros de arame.
Iremos deixar um
exercício para vocês praticarem. Espero que deixem seus resultados nos
comentários para corrigirmos;
Maria foi ao Supermercado
comprar:
- 750 g de Uva;
- 500 g de Maça;
- 500 g de Pão de Queijo.
Sabendo que o valor de
cada um é:
- 1Kg de Uva = R$ 5,50;
- 1Kg de Maça = R$ 3,25;
- 1Kg de Pão de Queijo= R$ 18,50;
Qual o valor que Maria
deverá pagar pelas mercadorias?
Dado: 1kg = 1000g
Pessoal, espero que tenham gostado e curtido, fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!
log2300 = 3,48 - 7*(0,18)/10
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