Exercícios Probabilidade - Parte V

 (EFOA) Uma pessoa tem em mãos um chaveiro com 5 chaves parecidas, das quais apenas uma abre determinada porta. Escolhe uma chave ao acaso, tenta abrir a porta, mas verifica que a chave escolhida não serve. Na segunda tentativa, com as chaves restantes, a probabilidade de a pessoa abrir a porta é de:

(A) 20%                (B) 25%                (C) 40%         
(D) 75%                (E) 80%

Solução. Na primeira tentativa a pessoa já excluiu uma das chaves. Logo seu espaço amostral fica reduzido a quatro chaves. Na segunda tentativa a probabilidade será 1 em 4. Logo, 

P(Abrir) = 1/4 = 25%

Das 180 pessoas que trabalham em uma empresa, sabe-se que 40% têm nível universitário e 60% são do sexo masculino. Se 25% do número de mulheres têm nível universitário, a probabilidade de selecionar-se um funcionário dessa empresa que seja do sexo masculino e não tenha nível universitário é:

(A) 5/12                       (B) 3/10                         (C) 2/9                              (D) 1/5                       (E) 5/36

Solução. Observe a tabela com os cálculos de acordo com as informações.

Logo, 

P(M ∩ Não Curso) = 54/180 = 3/10

(F .Maringá) Um número é escolhido ao acaso entre 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é:

(A) 1/5                 (B) 2/25                (C) 4/25                 
(D) 2/5                 (E) 3/5

Solução. Não há interseção entre esses eventos. Logo P(Primo È QPerfeito) = P(Primo) + P(QPerfeito). Há n{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} = 8 primos e n{1, 4, 9, 16} quadrados: 

P(Primo È QPerfeito)  =   8 + 4   =   2   = 3/5
                                              20          20

(FASP) Um colégio tem 400 alunos. Destes, 100 estudam Matemática, 80 estudam Física, 100 estudam Química, 20 estudam Matemática, Física e Química, 30 estudam Matemática e Física, 30 estudam Física e Química e 50 estudam somente Química. A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estudar Matemática e Química é:

(A) 1/10              (B) 1/8                 (C) 2/5    
(D) 5/3               (E) 3/10

Solução. Construindo o diagrama com as informações basta identificar a região que indica o número de alunos que estudam Matemática e Química.

P(Matemática ∩ Química)  =   20 + 20   =   40   = 1/10

                                                     400           400

(ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico mostrado. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é:

(A) 1/3          (B) 1/4          (C) 7/15         
(D) 7/23        (E) 7/25

Solução. De acordo com o gráfico, há 8 mulheres sem filhos, 7 mulheres com 1 filho, 6 mulheres com 2 filhos e 2 mulheres com 3 filhos. O total de crianças é: 8(0) + 7(1) + 6(2) + 2(3) = 7 + 12 + 6 = 25. O número de mulheres com filho único é 7. 

Logo,

P(FilhoÚnico) = 7/25

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Exercícios Probabilidade - Parte IV

(VUNESP) Numa gaiola estão 9 camundongos rotulados  1 , 2 , 3 , . . . , 9 . Selecionando-se conjuntamente 2 camundongos ao acaso (todos têm igual possibilidade de serem escolhidos) , a probabilidade de que na seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar é:

(A) 0,3777...              (B) 0,47        (C) 0,17    
(D) 0,2777...              (E) 0,1333...

Solução. Há cinco rótulos ímpares e quatro pares. Considerando cada retirada de camundongo e buscando a possibilidades (Ímpar, Ímpar), temos: 

P(I/I) =   5   .   4   =   5   = 0,2777....
               9        8       18 

(FEI) Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte responderam sim a ambas; 300 responderam sim à primeira; 250 responderam sim à segunda e 200 responderam não a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido não à primeira pergunta?

(A) 1/7                          (B) 1/2                             (C) 3/8                              (D) 11/21                         (E) 4/25

Solução. O número de alunos será a soma do número de alunos que responderam SIM com o número de alunos que responderam NÃO. Como há interseção nas respostas sim, forma-se o diagrama mostrado.

i) Total de alunos: 180 + 120 + 130 + 200 = 630 alunos.

ii) Responderam NÃO à primeira pergunta: 130 + 200 330 alunos. Observe que responder NÃO à primeira pergunta, implica em responder SIM somente segunda  pergunta ou NÃO  a ambas.

 Logo, 

P(N1ªP) = 330/630 = 11/21

(FATEC) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a probabilidade de ele ser um número ímpar é:

(A) 1               (B) 1/2                (C) 2/5       
(D) 1/4            (E) 1/5

Solução. Para que o número seja ímpar a unidades simples deverá ser um algarismo ímpar. Há dois casos a considerar:  5 e 7. Como 5 e 7 estão fixos, a permutação será entre os quatro algarismos restantes. Logo há 2.4! = 2(24) = 48 números ímpares. O espaço amostral será 5! = 120 números de cinco algarismos distintos. Logo,

P( Nímpar) = 48/120 = 2/5

(Objetivo) Uma urna contém apenas 10 bolas. Essas bolas são de diversas cores, e somente 4 são brancas. Sabe-se que as bolas diferem apenas na cor. Retira-se uma bola ao acaso, e em seguida retira-se outra bola, sem reposição da primeira. A probabilidade de obter duas bolas que não sejam ambas brancas é:

(A) 2/15                (B) 13/15                   (C) 1/3               
(D) 3/5                  (E) 2/9

Solução. Como há várias possibilidades, o evento complementar E = {duas bolas brancas} facilitará o cálculo:

P(BB) =   4   .   3   =   2  
                10     9        15

Logo, o evento pedido é o complementar desse

P(BB) = 1 - 2/15

P(BB) = 13/15

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Exercícios Probabilidade - Parte III

(UFRGS) Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meias estão misturados. Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par é de:

(A) 1/10        (B) 1/9               (C) 1/5              
(D) 2/5          (E) 1/2.

Solução1. Considerando os pares como AA, BB, CC, DD, EE, há um total de 10 meias. O número de formas de retirar duas meias quaisquer desse total será: 

 Há 5 possibilidades de saírem duas do mesmo par. Logo, 

P(Mesmo Par) = 5/45 = 1/9

(UFRGS) As máquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de parafusos defeituosos produzidos, respectivamente, pelas máquinas A e B é de 15% e de 5%. Foram misturados, numa caixa 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos por B. Se tirarmos um parafuso ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A é de:

(A) 10%           (B) 15%               (C) 30% 
(D) 50%           (E) 75%

Solução. A caixa possui um total de 200 parafusos e há 15% de 100 = 15 parafusos defeituosos da máquina A e 5% de 100 = 5 parafusos defeituosos da máquina B. Logo, há um total de 20 parafusos defeituosos. Como já foi detectado que o parafuso retirado é defeituoso, o espaço amostral fica reduzido de 200 para 20.

Logo,

P(A/defeituoso) = 15/20 = 3/4 = 75%

(UFRGS) Em um jogo, dentre dez fichas numeradas com números distintos de 1 a 10, duas fichas são distribuídas ao jogador, que ganhará um prêmio se tiver recebido fichas com dois números consecutivos. A probabilidade de ganhar o prêmio neste jogo é de:

(A) 14%              (B) 16%             (C) 20%      
(D) 25%              (E) 33%

Solução. O espaço amostral será. 

Cada número de 1 a 9 possui um consecutivo, excetuando o 10, pois não há a ficha 11. Logo, 

P(consecutivo) = 9/45  = 1/5  = 20%

(FUVEST) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é:

(A) 1/2            (B) 1/3         (C) 1/4          

 (D) 1/5           (E) 1/6

Solução. A decomposição em fatores primos de 60 é (2 x 2 x 3 x 5) = 2² x 3 x 5. O número de divisores é calculado pelo produto (2+1).(1+1).(1+1) = 12. Os únicos divisores primos são 2, 3 e 5, num total de três elementos. Logo, 

P(Div Primo) = 3/12 = 1/4

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Exercícios Probabilidade - Parte II

(UPF) - Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-se, sucessivamente, 2 bolas. Então a probabilidade das bolas serem da mesma cor, é:

(A) 1/7                 (B) 2/7                (C) 3/7                  
(D) 4/7                 (E) 5/7

Solução. Não há reposição, pois as retiradas são sucessivas.

P( mesma cor) = P(BB È PP) = P(B È B) + P(P È P) 

=   3   .   2   +   4   .   3   =   6 + 12   = 3/7

     7        6      7       6          42   

(VUNESP) Dois jogadores, A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos números dos dados for 5, A ganha, e, se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter vencido?

(A) 10/36          (B) 5/32                 (C) 5/36    
(D) 5/35            (E) não se pode calcular

Solução. O espaço amostral do lançamento de dois dados é composto de 36 elementos (pares ordenados). O evento “soma 5” será E(A) = {(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)}. Os eventos “soma 5” e soma “8” são disjuntos, logo não há interseção. Se A não ganhou o espaço amostral ficará reduzido para 36 – 4 = 32 elementos. O evento soma 8 será E(B) = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)}.

Logo, a probabilidade de B vencer será: P (soma8) = 5/32.

Se num grupo de 10 homens e 6 mulheres sorteamos 3 pessoas para formarem uma comissão, qual a probabilidade de que essa comissão seja formada por 2 homens e 1 mulher?

(A) 3/56            (B) 9/56             (C) 15/56       
(D) 27/56          (E) 33/56

Solução1. Queremos um resultado HHM em qualquer ordem. Logo há 3!/2! = 3 formações possíveis. A probabilidade para um deles, por exemplo, HHM será:

P(HHM) =   10   .   9   .   6   = 9/56

                     16       15    14

P(2H1M) = 3 . (9/56) = 27/56

(UFRGS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres é de:

(A) 25%              (B) 30%              (C) 33%       
(D) 50%             (E) 60%

Solução1. Queremos um resultado HMM em qualquer ordem. Logo há 3!/2! = 3 formações possíveis. A probabilidade para um deles, por exemplo, HHM será:

P(HMM) =     2   .   4   .   3   = 1/5

                         6       5    4

P(2H1M) = 3 . (1/5) = 6/10 = 60%

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Movimento Plano

O disco ilustrado rola sem escorregar, apoiado em superfície horizontal, e seu centro C, apresenta velocidade constante Vc = 0,01 m/s. A barra AB, de comprimento L = 0,3m, é acionada pelo disco, através da articulação B, e mantém seu extremo A, em contato permanente com a superfície horizontal. A articulação B, dista 0,1m, do centro C do disco e o raio da roda é de 0,15m. Para o instante ilustrado, quando θ = 30°, pedem-se:

a) a velocidade angular da barra AB;

b) a velocidade do ponto A da barra.

Analise do exercício:

Observa-se que o ponto A não é fixo, pois este se desloca em î, o ponto B também não é fixo, pois conforme a roda gira ele realiza movimento em î e j, e, o ponto C tem V = 0,04m/s;

O exercício não nos dá o ângulo entre o chão e a barra AB, portanto através do ângulo formado entre CB com o chão, iremos determinar a altura entre o chão e o ponto B da barra para assim determinarmos o ângulo entre o chão e a barra AB, as figuras abaixo representa melhor a situação:

Observa-se que não temos a altura do ponto C ao B, portanto a determinaremos para somar com o raio da roda e assim determinar a altura:

 Sen60° = h / 0,1

h = 0,1 . sen 60°

h = 0,087 m 

Somando : Rroda + h
0,15 + 0,087 = 0,237

Como agora temos o cateto oposto e a hipotenusa, usaremos seno para determinarmos o ângulo:

sen θ = cateto oposto / hipotenusa

senθ = 0,237 / 0,30

senθ = 0,79

senθ -¹ = 0,79 = 52,19°

Agora trabalharemos entre C e B, e, antes de iniciarmos calcularemos a Wc:

Vc = Wc x Rc

0,04 = Wc . 0,15

Wc = 0,04 / 0,15

Wc = 0,267 rad/s

Wc deu positiva, ou seja, segundo a regra da mão direita ele está em sentido horário, mas o dedão está contra k, portanto se está contra o k ele será negativo, então: Wc = - 0,267 rad/s1
Entre C e B

Vb = Vc + Wc x Rcb

Vb = 0,04 î +(-0,267 k) x (0,1.cos60î + 0,1.sen60j)

Vb = 0,04î -0,01315j + 0,02312î

Vb = 0,06312î - 0,01315j

A reposta de Vb comprova o que havíamos analisado no inicio no exercício, realmente Vb tem velocidade linear em î e j.


Entre A e B

Trabalharemos entre A e B para que Vb = Vb para igualarmos as equações e determinar a Va e Wa:

Vb = Va + Wab x Rab

Vb = Va + Wak x (0,3.cos52,19°î + 0,3.sen52,19)

Vb = Va + 0,18391Waj - 0,23701Waî

Igualando as equações:

Vb = Vb 

0,06312î - 0,01315j = Vaî + 0,18391Waj - 0,23701Waî

Observação: como analisado na figura o Va não terá nenhum deslocamento no eixo j, portanto em j = 0 m/s.

Em j:

0,01315j = 0,18391Waj

Wa = 0,01315/0,18391

Wa =  -0,073 rad/s

Em î:

0,0639î = Va - 0,237.(-0,073)

Va = 0,0639 - 0,017

Va = 0,469 m/s

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