Lei de Kirchhoff

No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos, seus verdadeiros sentidos e quais elementos são geradores e receptores.

Dados do problema

Resistores:

· R 1 = 3 Ω;

· R 2 = 4 Ω;

· R 3 = 2Ω;

· R 4 = 1Ω;

· R 5 = 2Ω;

· R 6 = 3Ω;

Geradores e Receptores:

· E 1 = 10,6 V;

· E 2 = 50 V;

· E 3 = 93,2 V;

· E 4 = 15 V;

· E 5 = 12,6 V

· E 6 = 20 V.

Solução

Há duas malhas: ABEF e BCDE;

Para cada malha deve-se atribuir, aleatoriamente um sentido de corrente, nesse caso para ambas as malhas atribuir-se-á sentido horário

Aplicando a Lei dos Nós

A corrente I1  chegam no nó B e a corrente I2 e I3 sai dele:

I1= I2 + I3 (I)

• Aplicando a Lei das Malhas

Olvida-se da malha B para trabalharmos apenas com a malha A, aplicando o sentido horário, temos:

-Ei + R1 x I1 + E2 + R2 x I2 - E3 + R3 x I1 = 0 

Substituindo:

-10,6 +3 x I1 + 50 + 4 x I2 - 93,2 + 2 x L1 = 0

5 x I1 + 4 x L2 - 53,2 = 0 (II)

Aplica-se sinal negativo em E1 e E3, pois ao passar a corrente no sentido horário o primeiro sinal a aparecer é o de subtração, caso o sentido fosse anti-horário as mesmas apresentariam carga positiva.

Trabalhando com a malha B, temos:

I3 x R4 + E6 + E4 + I30 x R5 + E5 + I3 x R6 - I2 x R2 - E2 = 0

I3 x 1 + 20 + 15 + 2 x I3 + 12,6 + 3 x I3 - 4 x I2 - 50 = 0

6 x I3 - 4 x I2 -2,4 = 0 (III)

As equações (I), (II) e (III) formam um sistema de três equações a três incógnitas I1, I2 e I3)

I1= I2 + I3 (I)

5 x I1 + 4 x I2 - 53,2 = 0 (II)

6 x I3 - 4 x I2 -2,4 = 0 (III)

Substituindo a equação (I) em (II) temos:

5 x I1 + 4 x I2 - 53,2 = 0 (II)

5x(I2 + I3) + 4 x I2 - 53,2 = 0

5 x I2 + 5 x I3 + 4 x I2 - 53,2 = 0

5 x I3 + 9 x I2 -53,2 = 0 (IV)

Agora a equação (III) e (IV) possuem  duas incógnitas e ambas são iguais, eliminaremos o I3 multiplicando  a equação  (IV) por (-6)  e a equação (III) por (5), temos:

5 x I3 + 9 x I2 - 53,2 = 0 . (-6)

6 x I3 - 4 x I2 -2,4 = 0 . (5)

-30 x I3 - 54 x I2 + 319,2 = 0

 30 x I3 - 20 x I2  - 12 = 0

     0    - 74 x I2  + 307,2 = 0

74 x I2 = 307,2

I2 = 4,2 A

Substituindo o resultado na equação (III), temos:

6 x I3 - 4 x I2 -2,4 = 0 

6 x I3 - 4 x (4,2) -2,4 = 0 

6 x I3 - 16,8 -2,4 = 0 

6 x I3 = 16,8 + 2,4

I3 = 19,2 / 6

I3 = 3,2 A

Para determinar o I1 basta substituir as correntes encontradas na equação (I), temos:

I1= I2 + I3 (I)

I1= 4,2 + 3,2

I1 = 7,4 A

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Foça de Tração

A esfera de peso P=50 kgf,encontra-se em equilíbrio, encaixada entre duas superfícies lisas, uma vertical, outra inclinada de 60º em relação à horizontal. Pedem-se:

a) A reação da parede vertical sobre a esfera;

b) A reação da parede inclinada sobre a esfera.

Analisando o sistema no eixo x e y temos:

Frx = 0

N1 - N.cos30° = 0

Fry = 0 

Nsen30° - P = 0

N1 é a reação da parede vertical sobre a esfera e N é a reação da parede inclinada sobre a esfera.

Como não temos nenhuma informação sobre essas normais, e, a única informação dada pelo exercício é o P da esfera, começaremos o calculo pela FRy para assim descobrir N (reação da parede inclinada sobre a esfera).

Fry = 0 

Nsen30° - P = 0

N =    P   

        sen30°

N =    50   

       sen30°

N = 100Kgf

Determianndo N1:

Frx = 0

N1 - N.cos30° = 0

N = N.cos30°

N = 100.cos30°

N = 86,6 Kgf

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Força de tração e atrito II

No arranjo ilustrado, o bloco A com massa 4,0 kg aciona o bloco B de massa 2,0 kg. O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco B e

o plano inclinado é 0,25. 

Pedem-se:

a) a aceleração do conjunto;

b) a normal do plano inclinado sobre o bloco B;

c) a tração no fio.

Sabe-se que:

Pa = ma.g 

Pa = 4.10

Pa = 40 N

Pb = mb.g 

Pb = 2.10

Pb = 20 N

O Peso do bloco b nos eixos x e y será:

Pby = cos37.Pb

Pby = 20.0,8

Pby = 16 N


Pbx = sen37.Pb

Pbx = 20.0,6

Pbx = 12 N


O coeficiente de atrito é o produto entre µ e a Normal:

Fat = µ.N

Fat = 0,25.16

Fat = 4N


A normal de B:

Nb - Py = 0

Nb = Pb

Nb = Pb = 16N

Analisando bloco A, temos:

Fa = ma.a 

Pa - Ta  = ma.a

40 - T = 4.a

T = 40 - 4.a  (I) 

Analisando bloco B, temos:

Fb = mb.a 

T - Pb - Fat   = mb.a

T - 12 - 4 = 2.a

T = 2.a + 16 (II)


Substituindo (II) em (I)

T = 40 - 4.a  (I) 

T = 2.a + 16 (II)

(2.a + 16) = 40 - 4.a  (II) 

4.a + 2.a = 40 - 16

6.a = 24

a = 24/ 6 

a = 4m/s²

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Força de tração e atrito

Em uma máquina de Atwood a polia é livre e giratória, sem atrito. O fio é leve, flexível, inextensível. Os blocos A e B suspensos, apresentam massas: mA = 6 kg e mB'= 14 kg.

Abandonando o sistema em repouso, pedem-se:

  

a) a aceleração do conjunto;

b) a força de tração no fio;

c) o percurso em 2 s.

Sabe-se que:

Pa = ma.g 

Pa = 6.10

Pa = 60 N

Pb = mb.g 

Pb = 14.10

Pb = 140 N

Analisando bloco A, temos:

Fa = ma.a 

Ta - Pa = ma.a

T - 60 = 6.a

T = 60 + 6.a  (I) 

Analisando bloco B, temos:

Neste caso temos que tomar cuidado, pois o peso do bloco B é maior do que o bloco A, portanto o bloco B irá descer, e, para que isto ocorra a tração tem que ser menor que o Pb.

Fb = mb.a 

Pb - Ta   = mb.a

140 - (60 + 6.a) = 14.a

140 - 60 -6.a = 14.a

80 = 20.a

a = 80 / 20

                  a = 4 m/s²

Para determinar a Tração, basta substituirmos a aceleração encontrada na equação (I)

 T = 60 + 6.a  (I)

T = 60 + 6.4

T = 60 + 24

T = 84 N

Para determinar-se o percurso em t =2s usaremos a seguinte fórmula do deslocamento de Torricelli:

S = So + vo.t + (1/2).a.t²

S = 0 + 0.(2) + (1/2).(4).(2)²

S = 2.4

S = 8 m

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Campo Elétrico

Divide-se ao meio uma coroa circular de centro ), raio interno a e externo b. Eletrizada a coroa, determinar o campo eletrostático em 0, sabendo que a densidade elétrica superficial é  σ = cr²cosθ

O exercício já nos diz que a distribuição de cargas será superficial portanto tem-se:

dQ  = σdS

dS =  r dr dθ

Substituindo na equação:

dE =    1    .    dQ    . êr

          4πε0      r²

Substituindo dQ:

dE =    1    .    σdS    . êr

          4πε0       r²

Substituindo dS:

dE =    1    .    σ r dr dθ    . êr

          4πε0           r²

Substituindo σ:

dE =    1    .   cr²cosθ r dr dθ    . êr

          4πε0               r²

Para facilitar nossa conta podemos cancela r²:

dE =    1    .   cr cosθ  dr dθ  .  êr

          4πε0               

Calculando dEy

Sabe-se que:

dEy = ê = senθ

Substituindo novamente tem-se:

dEy =    1    .   cr cosθ  dr dθ  . senθ

          4πε0  

Para facilitar nos cálculos e ganharmos tempo, separaremos as incógnitas de acordo com o mesmo assunto, ou seja:

r dr = se trata do raio interno e externo

cosθ senθ dθ   = se trata da  angulação referencial ao ponto a qual a coroa foi cortada.

Portanto tem-se:

dE =    c    .   r  dr cosθ senθ dθ

         4πε0  

Com a equação organizada podemos aplicar as integrais de acordo com cada assunto relacionado.

Calculando a primeira integral:

Calculando a segunda integral:

Adotaremos 

u = senθ

   du   = cosθ     =     du = cosθdθ

   dθ

   

∫ u du =    u²  

                2

∫ u du =    senθ²  

                  2

Finalizando tem-se:

dEy =    c    .   1  (b² - a²) . 0 

          4πε0      2

dEy = 0 

Calculando dEx

Sabe-se que:

dEx = ê = cosθ

Substituindo novamente tem-se:

dEy =    1    .   cr cosθ  dr dθ  . cosθ

          4πε0

Organizando tem-se:

dEx =    c    .   r  dr cosθ cosθ dθ

         4πε0  

Como a primeira integral já está calculada ganharemos tempo e integraremos a segunda.

A integral ∫cosθ²dθ por ser um pouco mais complexa, preparei uma postagem explicando como calculá-la, para quem quiser aprender segue o link abaixo:

http://culturaexatas.blogspot.com.br/2014/03/identidades-trigonometricas.html

Seguindo com os cálculos:

Finalizando tem-se:

dEx =    c    .   1  (b² - a²) .    π   

          4πε0      2                     2

Cancelando π e multiplicando os denominadores, tem-se:

dEx =    c    .(b² - a²) 

          16ε0      

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Dipolo Elétrico

Um dipolo elétrico E constituído pelas Cargas puntiformes-Q e  + q separadas Pela distancia d (ver Figura). Determine o campo Elétrico E Produzido Pelo dipolo No Ponto P.

 
Dados:

q = 1,8. 10 ^ -6

d = 0,20 m

      1        = 9. 10 ^ 9

    4 πε o

Ao observa-se a figura nota-se que não temos a distância do ponto P até as cargas -q e +q, e, para determiná-las entraremos na regra dos senos.

Observa-se que falta determinar o ângulo entre a e b, portanto sabe-se que os ângulos internos devem em sua somatória dar 180°, então basta fazer:

180° = 145° + 30° + x

x = 180° - 175°

x = 5°

   0,2     =        a             =      b      

  sen5         sen145              sen30

Para calcular a distância a:

   0,2      =         a          

  sen5           sen145  

a =    0,2. sen145  

             sen5

a = 1,316 m

Para calcular a distancia b:

   0,2       =          b           

  sen5               sen30  

b =    0,2. sen30   

             sen5

b = 1,147 m

Com as distâncias calculadas basta calcularmos o campo elétrico:

Calculando o campo elétrico E de -q até o  Ponto P

E1  =        1        .   Q 1  

             4 πε o        Ra ²

E1 = 9. 10 ^ 9.    1,8. 10 ^ -6  

                             (1,316) ²

E1 = (9.10 ^ 9). (1,039.10 ^ -6)

E1 = 9354,126 N / C

Calculando o campo elétrico E de +q Ate O Ponto P

E2 =        1        .   Q 2   

            4πεo        Rb ²

E2 = 9.  10 ^ 9.     1,8.  10 ^ -6  

                             (1,147) ²

E2 = (9.10 ^ 9).  (1,368.10 ^ -6)

E2 = 12313,688 N / C

Realizando decomposição do campo elétrico no eixo x e y:

Antes de iniciar-se a decomposição deve-se observar que a carga -q ela irá receber cargas e a +q irá doar as cargas como mostrado abaixo:

Portanto a decomposição ficará da seguinte maneira:

Na determinação dos ângulos deve-se seguir como já foi mostrado no começo dos cálculos.

Eixo x i):

E2x1 - E1x1 = 0

E2.cos35 - E1sen60 = 0

12313,688.cos35 - 9354,126sen60 = 0

10086,7827 - 8100,9107 = 0

1985,87 i N/C

Eixo y(j):

E2y1 - E1y1 = 0

E2.sen35 - E1cos60 = 0

12313,688.sen35 - 9354,126cos60 = 0

7062,841 - 4677,063 = 0

2385,77 j N/C

Portanto E = 1985,87i + 2385,77j N/C

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Cinemática dos Sólidos VI

Uma pequena roda de esmeril está presa ao eixo de um motor elétrico cuja velocidade nominal é de 1800 rpm. Quando se liga o motor, o conjunto alcança essa velocidade após 5 segundos. Quando se desliga, ele leva 90 segundos até parar. Admitindo a aceleração angular constante, determine:

a) A aceleração angular e a desaceleração angular.

b) O número de voltas dadas para atingir a rotação nominal e o número de voltas até parar, quando o motor é desligado.

Iremos calcular a aceleração angular e o número de volta quando se liga o motor:

Informações no período em que a roda é ligada:

No momento em que a mesma é ligada sua velocidade é de ωo = 0 rad/s ao desligar sua velocidade é ωf = 188,49 rad/s, em um intervalo de tempo de 5 segundos.

A roda gira com velocidade nominal de 1800 rpm, portanto a converteremos para rad/s

ωf = 2πf/60

ωf = 2π.1800/60

ωf = 188,49 rad/ s

Determinando a aceleração angular:

α =    (ωf - ω0)   

             t

α =    (188,49 - 0)   

              5

α = 37,698s 

Determinando deslocamento para determinar o número de voltas:

ω² = ωo² + 2α.Δθ

188,49² = 0² + 2.37,698.Δθ

Δθ =    35.528,48   

              75,396

Δθ = 471,22 rad

Convertendo:

Número de voltas = Δθ/2π

N = 471,22/2π

N = 74,99 voltas

Ao Desligar a roda de esmeril:

No momento em que a mesma é desligada sua velocidade é de ωo = 188,49 rad/s ao desligar sua velocidade é ωf = 0 rad/s, em um intervalo de tempo de 90 segundos.

Determinando a aceleração angular:

α =    (ωf - ω0)   

             t

α =    (0 - 188,49)   

              90

α = -2,09 rad/s² 

Determinando deslocamento para determinar o número de voltas:

ω² = ωo² + 2α.Δθ

0² = -188,49² + 2.(-2,09).Δθ

Δθ =   - 35.528,48   

             - 4,18

Δθ = 8499,64 rad

Convertendo:

Número de voltas = Δθ/2π

N = 8499,64/2π

N = 1352,76 voltas

Pode- se determinar o número de voltas ao desligar utilizando-se regra de três simples:

5 segundos     =     74,99 voltas

90 segundos   =       x voltas

x =    74,99 . 90   

              5

x = 1349, 82 voltas 

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