Divide-se ao meio uma coroa circular de centro ), raio interno a e externo b. Eletrizada a coroa, determinar o campo eletrostático em 0, sabendo que a densidade elétrica superficial é σ = cr²cosθ
O exercício já nos diz que a distribuição de cargas será superficial portanto tem-se:
dQ = σdS
dS = r dr dθ
Substituindo na equação:
dE = 1 . dQ . êr
4πε0 r²
Substituindo dQ:
dE = 1 . σdS . êr
4πε0 r²
Substituindo dS:
dE = 1 . σ r dr dθ . êr
4πε0 r²
Substituindo σ:
dE = 1 . cr²cosθ r dr dθ . êr
4πε0 r²
Para facilitar nossa conta podemos cancela r²:
dE = 1 . cr cosθ dr dθ . êr
4πε0
Calculando dEy
Sabe-se que:
dEy = ê = senθ
Substituindo novamente tem-se:
dEy = 1 . cr cosθ dr dθ . senθ
4πε0
Para facilitar nos cálculos e ganharmos tempo, separaremos as incógnitas de acordo com o mesmo assunto, ou seja:
r dr = se trata do raio interno e externo
cosθ senθ dθ = se trata da angulação referencial ao ponto a qual a coroa foi cortada.
Portanto tem-se:
dE = c . r dr cosθ senθ dθ
4πε0
Com a equação organizada podemos aplicar as integrais de acordo com cada assunto relacionado.
Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:
Adotaremos
u = senθ
du = cosθ = du = cosθdθ
dθ
∫ u du = u²
2
∫ u du = senθ²
2
Finalizando tem-se:
dEy = c . 1 (b² - a²) . 0
4πε0 2
dEy = 0
Calculando dEx
Sabe-se que:
dEx = ê = cosθ
Substituindo novamente tem-se:
dEy = 1 . cr cosθ dr dθ . cosθ
4πε0
Organizando tem-se:
dEx = c . r dr cosθ cosθ dθ
4πε0
Como a primeira integral já está calculada ganharemos tempo e integraremos a segunda.
A integral ∫cosθ²dθ por ser um pouco mais complexa, preparei uma postagem explicando como calculá-la, para quem quiser aprender segue o link abaixo:
Seguindo com os cálculos:
Finalizando tem-se:
dEx = c . 1 (b² - a²) . π
4πε0 2 2
Cancelando π e multiplicando os denominadores, tem-se:
dEx = c .(b² - a²)
16ε0
Pessoal, espero que tenham gostado e curtido, fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!
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