Identidades Trigonométricas - Exponencial Par

Para calcular a Integral de potências de Cosseno pares aplicar-se-á a identidade pela fórmula de recorrência para calcular ∫cos²xdx.

Segundo a tabela de identidade trigonométrica sabe-se que:

cos²x =   1   . (1 + cos2x)
              2

Portanto a integral será reescrita como:

 ∫cos²xdx =  ∫  1   . (1 + cos2x)dx
                      2

Rescreve-a isolando a constante (1/2) e integrando cada uma separadamente como:

  1    (∫1dx + ∫cos2xdx)
  2

Resolvendo a primeira integral:

∫1dx = x + C


Resolvendo a segunda integral pelo método da substituição:

∫cos2xdx       

Onde:
u = 2x

Derivando:
   du    = 2
   dx

   du    = dx
   2

Integrando:

 ∫cosxdx  

=  ∫cosu  du  
               2

=  1   ∫cosudu
    2

Integral de cosseno é seno:

=   1   senu
     2

 =    senu      =     sen2x    + C
          2                   2

Ao término dos cálculos das integrais, basta substituirmos na equação original:

∫cos²xdx =   1    (∫1dx + ∫cos2xdx)
                   2

∫cos²xdx =   1   . [x + (sen2x)/2] + C
                   2

∫cos²xdx =   x   +     sen2x    +C
                   2              4

Para calcular ∫sen²xdx utilizará o mesmo processo para ∫cos²xdx, lembrando que a identidade trigonométrica de ∫sen²xdx é 

 1   . (1 - cos2x)
 2

Para os que se aventurarem no cálculo de ∫sen²xdx a resposta é 

∫sen²xdx =   x   -     sen2x    +C
                   2              4

Para quem quiser relembrar um pouco da teoria segue o link abaixo:

http://culturaexatas.blogspot.com.br/2014/03/identidade-trigonometrica-teoria.html

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!