Regra da Cadeia

A figura a seguir ilustra a escada AB, de 7m de comprimento, apoiada em uma parede vertical. A base A da escada escorrega com velocidade horizontal de 0,04m/s. Calcule a velocidade com que o topo B da escada cai no instante em que a base da escada dista 1,1m da parede.

Primeiramente aplica-se o Teorema de Pitágoras para determinar-se o eixo y, para isto tem que isolá-lo.

x² + y² = 7²

y² = -x² + 49

y = √49-x²

Feito isto, deriva-se através da Regra da Cadeia.

y = (49 - x²)-1/2.-2x

y =    1   (49 - x²)-1/2.-2x

        2

y = (49 - x²)-1/2.-x

y =       -x       

     (49 - x²)-1/2

y =       -x       

    √49-x²

Para determinar-se o deslocamento em y no ponto em que a escada dista 1,1m da parede, basta substituir na equação derivada o x por 1,1.

   dy    =       -x       

   dx      √49-x²

   dy    =       -1,1       

   dx      √49-1,1²

   dy    = -6,9

   dx     

O deslocamento de y em relação a x foi de -6,9

A velocidade horizontal dada no exercício é de 0,04 m/s, que é através do deslocamento em x pelo tempo.

  dy    =    dy   .   dx   

 dt          dx      dt

   dy    = -6,9.0,04

 dt  

   dy    = -0,00676 m/s

 dt          

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Produto Escalar x Produto Vetorial

Produto Escalar
       →     →  
Sendo lul = 3, lvl = 2 e θ = 30º, 
                  →→                  →→
onde θ = ang(u.v), determine lu^vl.

cos 30º = √3/2

→→  →→

u.v = lul.lvl.cosθ

→→

u.v = 3.2.    √3   

                   2

→→

u.v =   6√3   

          2 

→→

u.v =   3√3   

         

Produto Vetorial
       
        →           →
Sendo lul = 9, lvl = 1/2 e θ = 60º, 
                   →→                    →→
onde θ = ang(u.v), determine lu^vl.

sen 60º = √3/2

→→  →→

u.v = lul.lvl.senθ

→→

u.v = 9.  1   .    √3   

          2          2

→→

u.v =   9√3   

          2 

Porque no produto escalar usa-se o cosseno e no vetorial usa-se o seno?

Pela propriedade do produto escalar sabemos que:

→→  →→

u.v = lul.lvl.cosθ, 0°≤ θ ≤ 180º.

A figura abaixo representa a situação:

                                                               →→

Tem-se um paralelogramo, cujo produto de u.v 

passa pelo angulo θ, portanto se passa pelo ângulo é cosseno.

Segundo a propriedade do produto vetorial sabemos que:
                                     →                    →                →→
Direção: se x ortogonal a u e x ortogonal a v, então x// u^v

Sentido: "Regra da mão direita", onde o produto se refletira em outro eixo, como mostrado abaixo:
→ →→
i ^ j = k

→→→
j ^k = i

→→→
k ^i = j

Comprimento: se θ é o ângulo entre os vetores
→→                          →→→→
u e v não nulos, então lu^vl = lul.lvl.senθ.

O produto nunca irá passar pelo ângulo entre u e v, portanto se não passa pelo ângulo é seno.

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Produto Vetorial

Considere o triângulo ABC definido pelos vetores AB = (4,1,-6) e AC = (0,-6,7)

a) Determine a área do triângulo ABC.

Calculando da esquerda para a direita temos:

((i.1.7) + (j.(-6).0) + (k.4.(-6))) = (7i -24k)

  ((k.7.0) + (i.(-6).(-6)) + (j.4.7)) = (36i + 28j)

Somando temos:
(7i -24k) - (36i + 28j)
(29i - 28j -24k)

(29,-28,-24)

Calculando a área do triangulo temos:

A =    1  . lu^vl 

          2

A =    1  . √29² + (28)² + (-24)²

          2

A = (√2201)/2 u. A.

b) Determine a altura hA relativa ao vértice A do triângulo ABC.

Para determinar-se a altura hA faz-se a soma vetorial de BC.

BC = BA + AC

BC = -AB + AC

BC = (-4,-1,6) + (0,-6,7)

BC = (-4,-7,13)

lBCl = √(-4)² + (-7)² + (13)²

lBCl = √234

Encontrando a altura temos:

A =    b.h   

         2

   √2201    =    √234.hA    

2                   2

 2√2201    =    √234.hA    

2                  

√2201    =    √234.hA    

   √2201    = hA    

√234

Não olvidem-se que jamais pode deixar uma fração com raiz como denominador, ou seja, deixá-la com número irracional, para isso deve se multiplicá-la por outra fração cujo numerador e denominador é igual ao número irracional apresentado no denominador, neste caso multiplica-se por √234.

hA =     √2201    .    √234    
          √234            √234


hA =   √515034   
          (√234)²

hA =   √515034   
           234

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Produto Escalar

                                               →                  →

Calcule o ângulo entre os vetores u = (-3,1,8) e v = (-5,0,-1).

Segundo a propriedade do produto escalar abaixo, temos:

→→  →→

u.v = lul.lvl.cosθ

Neste caso deve-se determinar o ângulo entre os vetores u e v, para tanto deve-se passar os módulos de u e v dividindo o produto escalar entre os vetores u e v, como mostrado a seguir.
                              →→
cosθ =          u.v        
              →→
             lul.lvl

Determiná-lo-emos separadamente:

Produto escalar entre os vetores:
→→
u.v = (-3,1,8).(-5,0,-1)

→→
u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2

→→
u.v = (-3).(-5) + 1.0 + 8.(-1)

→→
u.v = 15 -8 = 7

                                      →
Determinação do módulo de u:
→
lul = √ (-3)² + 1² + 8²

→
lul = √9+1+64

→
lul = √74

                                      →
Determinação do módulo de v:

→
lvl = √(-5)²+ 0²,(-1)²

→
lvl = √25+1

→
lvl = √26

Substituindo:
                →→
cosθ =          u.v        
               →→
               lul.lvl

cosθ =           7         
          √74.√26

cosθ =           7         
          √1924

Não olvidem-se que jamais pode deixar uma fração com raiz como denominador, ou seja, deixá-la com número irracional, para isso deve se multiplicá-la por outra fração cujo numerador e denominador é igual ao número irracional apresentado no denominador, neste caso multiplica-se por √1924.

cosθ =           7          .    √1924    
          √1924            √1924


cosθ =   7√1924   
          (√1924)²

cosθ =   7√1924   
          1924

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Energia e Trabalho II

Um corpo de massa m = 0,1 kg inicialmente parado sobre um plano horizontal sem atrito, fica sujeito a uma força variável com a posição conforme o diagrama dado. Calcular:

a) O trabalho realizado pela força entre as posições 0 e 3m.

Para determinar-se o trabalho realizado por F entre as posições 0 e 3m, deve-se calcular a área de cada figura geométrica apresentada no gráfico.

Área do Retângulo (horizontal): b.h

2.20 = 40J

Área do Retângulo (vertical): b.h

1.40 = 40J

Somatória dos trabalhos realizados:

τ0-3 = 40 + 40

τ0-3 = 80J

b) A energia cinética do corpo ao atingir a posição 3m.
Sabe-se que Energia Cinética é dada pela equação:

Ec =    m.v²   
             2

Substituindo temos:

Ec =    0,1.v²   
             2

Nota-se que há duas incógnitas, portanto adotaremos está equação como (I) e seguiremos para a próxima questão para vermos se nos é possível achar a velocidade e continuar o exercício.

c) A velocidade final (na posição 3m)

Para determinar-se a velocidade do móvel na posição 3m, sabe-se que o trabalho de todas as forças que estão atuando no corpo é igual à variação da energia cinética final menos a inicial.

_Frτ_0-3  = Е_cf - Е_ci

Sabe-se que a energia cinética é nula, pois a velocidade neste instante será 0.

_Frτ_0-3  = Е_cf

_Frτ_0-3  =     m.v²   

                   2

80 =    0,1. v²   

            2

v² = 160/0,1

v² = 1600

v = √1600

v = 40 m/s

Encontramos a velocidade, agora nos é possível continuar o cálculo da questão b, portanto temos:

Ec =    0,1.40²   
             2


Ec =    0,1.1600   
             2


Ec = 160/2


Ec = 80J

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!
             

Energia potencial Elástica II

Tendo recebido um impulso, um bloco de massa m = 4,0kg desliza sobre um plano horizontal, em direção a uma mola. A mola é leve e tem constante elástica k = 700N/m. O coeficiente de atrito é 0,25. A máxima compressão da mola é 10cm. Adotar g = 10 m/s². Determinar a velocidade do bloco no instante em que ele encosta na mola.

Observação: Pessoal no enunciado do exercício da apostila nos dá constante elástica k = 7000 N/m, mas a velocidade obtida não está de acordo com o resultado dado pela apostila, houve um equivoco, para lograr-se v = 1,5 m/s a constante elástica deve ser adotada como 700N/m, portanto adortaremos constante elástica k = 700 N/m, para chegarmos ao resultado dado pela apostila.

Antes de iniciar-se o cálculo revisaremos um pouco a teoria.


- Força elástica é uma força conservativa, pois seu trabalho só depende da posição inicial e da posição final:
             Ep =  Epi - Epf

Sabe-se que na  Epi o deslocamento da mola será 0.
Portanto teremos:  Ep =  - Epf


- A variação da Energia Cinética é dada pela equação:
             Ec =  Eci - Ecf

Sabe-se que a velocidade inicial do bloco é zero, entao a  Eci = 0.

Portanto teremos:  Ec =  - Ecf

- A energia potencial elástica será a resultante da soma da Força Elástica com o produto da Força de Atrito com o deslocamento de compressão da mola.

Analisando as unidades, temos:

m = 4,0 kg
k= 700N/m
μ = 0,25
g = 10 m/s²
x = 10 cm
Deve-se realizar a conversão da compressão da mola de centímetros para metros:
x = 10 cm = 0,1 m


(- Fat).∆x + Epotencial  = Ecinética

 (-μ.m.g)∆x + (Epi -Epf) = Ec

(-0,25.4.10).0,1 + (0 -    k.x²   )  =    -m.v²   
                                  2              2

- 1 -    700.(0,1)²    =    -4.v²   
               2                       2

-1 - 3,5 = -2.v²

v² =    -4,5   
     -2

v² = 2,25

v = 1,5 m/s

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Aceleração Centrípeta III

Um disco horizontal gira com velocidade angular constante w. um bloco de massa m = 0,5kg, ´e apoiado sobre o disco à distância d = 0,25m do centro do mesmo. 
O coeficiente de atrito entre o disco e o bloco é μ = 0,35. Determinar a máxima velocidade angular do disco que não produz escorregamento do bloco.

Sabe-se que ac = v²/R e que a velocidade angular constante é dada por v = w.R temos:

ac =    v²     =    (w.R)²  
         R         R

Portanto temos:
ac = w². R

Fcp =m.ac

fat = m.w².R

μ.N = 0,5. w².0,25

1,75 = 0,125w²

w² = 1,75/ 0,125

w² = √14

w = 3,74 rad/s

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Energia potencial Elástica

Tendo recebido um impulso, um bloco de massa m = 3,0kg desliza sobre um plano horizontal, em direção a uma mola. A mola é leve e tem constante elástica k = 5000N/m. O coeficiente de atrito é 0,15. A máxima compressão da mola é 10cm. Adotar g = 10 m/s². Determinar a velocidade do bloco no instante em que ele encosta na mola.

Antes de iniciar-se o cálculo revisaremos um pouco a teoria.


- Força elástica é uma força conservativa, pois seu trabalho só depende da posição inicial e da posição final:
             Ep =  Epi - Epf

Sabe-se que na  Epi o deslocamento da mola será 0.
Portanto teremos:  Ep =  - Epf


- A variação da Energia Cinética é dada pela equação:
             Ec =  Eci - Ecf

Sabe-se que a velocidade inicial do bloco é zero, entao a  Eci = 0.

Portanto teremos:  Ec =  - Ecf

- A energia potencial elástica será a resultante da soma da Força Elástica com o produto da Força de Atrito com o deslocamento de compressão da mola.

Analisando as unidades, temos:

m = 3,0 kg
k= 5000N/m
μ = 0,15
g = 10 m/s²
x = 10 cm
Deve-se realizar a conversão da compressão da mola de centímetros para metros:
x = 10 cm = 0,1 m


(- Fat).∆x + Epotencial  = Ecinética

 (-μ.m.g)∆x + (Epi -Epf) = Ec

(-0,15.3.10).0,1 + (0 -    k.x²   )  =    -m.v²   
                                  2              2

- 0,45 -    5000.(0,1)²    =    -3.v²   
               2                       2

-0,45 - 25 = -1,5.v²

v² =    -25,25   
     -1,5

v² = 16,96

v = 4,12 m/s

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Energia e Trabalho

Num corpo de massa 2 kg atuam as forças F e de atrito cinético fatc, conforme mostra a figura.. Essas forças são paralelas ao deslocamento que ocorre no plano horizontal. No instante t=0, o corpo se encontra na origem dos espaços (S0=0) e em repouso (vo=0).

Calcule:

a) o trabalho realizado por F ao longo de 6m;

Para determinar-se o trabalho realizado por F ao longo de 6m, deve-se calcular a área de cada figura geométrica apresentada no gráfico.

Área do Quadrado: b.h

2.10 = 20J

Área do trapézio:   (b+B).h   

                               2

   (10 + 20).2        = 30J

          2

Área do triângulo:   b.h   

                              2

   2.20        = 20J

     2

Somatória dos trabalhos realizados:

τ0-6 = 20 + 30+ 20

τ0-6 = 70J

b) o trabalho da força de atrito ao longo de 6m;

Para determinar-se o trabalho realizado da força de atrito ao longo de 6m, deve-se calcular a área do retângulo correspondente a Força fat.

Área do Retângulo: b.h
-9 . 6 = -54J

c) o trabalho da força resultante que atua no corpo ao longo dos 6m;

Para determinar-se o trabalho da força resultante que atua no corpo ao longo de 6m, deve-se calcular todas as forças atuante no corpo de massa 2kg.

No bloco há as seguintes forças: Normal, Peso, Força e Fat.

Ao analisar o diagrama nota-se que as forças Normal e Peso formam angulação de 90 graus com o eixo x, sabe-se que cos 90 = 0, portanto as forças Normal e Peso será zero, isto nos privará de realizar contas e perder tempo desnecessário:

F e Fat já havia sido calculado portanto basta realizar a somatória do trabalho da força resultante que atua no corpo ao longo dos 6m.

_Frτ_0-6 = _Fτ_0-6  + _Pτ_0-6 + _Nτ_0-6+ _Fatτ_0-6

_Frτ_0-6 = 70 + 0 + 0 - 54

_Frτ_0-6 = 16J

d) a velocidade do móvel na posição 6m.

Para determinar-se a velocidade do móvel na posição 6m, sabe-se que o trabalho de todas as forças que estão atuando no corpo é igual à variação da energia cinética final menos a inicial.

_Frτ_0-6  = Е_cf - Е_ci

Sabe-se que a energia cinética inicial é nula, pois a velocidade neste instante será 0.

_Frτ_0-6  = Е_cf

_Frτ_0-6  =     m.v²   

                   2

16 =    2. v²   

            2

v² = 16

v = √16

v = 4 m/s

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