Produto Escalar x Produto Vetorial

Produto Escalar
       →     →  
Sendo lul = 3, lvl = 2 e θ = 30º, 
                  →→                  →→
onde θ = ang(u.v), determine lu^vl.

cos 30º = √3/2

→→  →→

u.v = lul.lvl.cosθ

→→

u.v = 3.2.    √3   

                   2

→→

u.v =   6√3   

          2 

→→

u.v =   3√3   

         

Produto Vetorial
       
        →           →
Sendo lul = 9, lvl = 1/2 e θ = 60º, 
                   →→                    →→
onde θ = ang(u.v), determine lu^vl.

sen 60º = √3/2

→→  →→

u.v = lul.lvl.senθ

→→

u.v = 9.  1   .    √3   

          2          2

→→

u.v =   9√3   

          2 

Porque no produto escalar usa-se o cosseno e no vetorial usa-se o seno?

Pela propriedade do produto escalar sabemos que:

→→  →→

u.v = lul.lvl.cosθ, 0°≤ θ ≤ 180º.

A figura abaixo representa a situação:

                                                               →→

Tem-se um paralelogramo, cujo produto de u.v 

passa pelo angulo θ, portanto se passa pelo ângulo é cosseno.

Segundo a propriedade do produto vetorial sabemos que:
                                     →                    →                →→
Direção: se x ortogonal a u e x ortogonal a v, então x// u^v

Sentido: "Regra da mão direita", onde o produto se refletira em outro eixo, como mostrado abaixo:
→ →→
i ^ j = k

→→→
j ^k = i

→→→
k ^i = j

Comprimento: se θ é o ângulo entre os vetores
→→                          →→→→
u e v não nulos, então lu^vl = lul.lvl.senθ.

O produto nunca irá passar pelo ângulo entre u e v, portanto se não passa pelo ângulo é seno.

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!