Cinemática VII

Um fuzileiro atira em um alvo. Entre o instante do disparo e o instante em que o fuzileiro ouve o impacto do projétil no alvo, decorrem 3,0s. A velocidade do projétil é vp = 680 m/s enquanto que a velocidade do som é vs = 340 m/s. O movimento do projétil é uniforme com trajetória reta e horizontal. Determinar a distância entre o fuzileiro e o alvo.

Sabemos que o tempo entre o instante do disparo e o instante em que o fuzileiro ouve o impacto do projétil no alvo é de 3 segundos, portanto temos:

Ttotal = tprojétil + tsom

3 = tprojétil + tsom

Projétil: 

v =    ∆s   

   ∆tprojétil

∆tprojétil =    ∆s   

                    v

∆tprojétil =    ∆s   

                   680

Som:

v =    ∆s   

     ∆tsom

∆tsom =    ∆s   

             340

Substituindo:

 3 =    ∆s    +    ∆s   

          v           v 

 3 =    ∆s    +    ∆s   

         680      340

Faz-se m.m.c

2040 =  ∆s + 2.∆s

2040 =  3

∆s = 2040 / 3

∆s = 680m.

A distância entre o fuzileiro e o alvo é de 680m.

 Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Cinemática VI

Um carro de corrida A possui velocidade constante va = 50 m/s. No boxe está um carro B parado. Quando A está 200m à frente do carro B, este parte com aceleração constante a = 5 m/s². Pedem-se:

a) o tempo gasto para que o carro B alcance o carro A;

O tempo necessário para o carro B alcançar o carro A, será quando as posições forem iguais:

Sb = Sa

O carro realiza movimento uniformemente variado, ou seja, velocidade é variável e a aceleração constante. Portanto usaremos a equação horária do movimento uniformemente variável:

a(t) = 5 m/s²

Sb = So + vo.t +   1   .a.t²

                        2

Sb =    5.t²   

           2 

Sb = 2,5t²

Como não há mais nada a fazer na equação por termos duas incógnitas seguiremos nossos cálculos e ver o que nos aguarda.

O enunciado nos diz que a velocidade do carro A é constante, se é constante então será movimento uniforme.

V= 50 m/s                      So = 200m

Sa = 200 + 50.t

Também obtivemos duas incógnitas, agora para determinar-se o tempo igualaremos as equações:

Sb = Sa

2,5.t² = 200 + 50.t 

2,5.t² - 50.t - 200 = 0

Para resolvermos usaremos Bháskara

x =    -(-50) ±√(-50)² - 4.2,5.(-200)   

                  2.2,5

x =  50 ±√2500+ 2000   

              5

x¹ =   50 + √ 4500  

               5

x¹ =   107,08  

           5

x¹ = 23,41 

x² =   50 - √4500  

             5

x² =   -17,08  

           5

x² = - 3,41

O que nos interessa será o valor positivo, portanto o tempo necessário para o guarda alcançar o carro é de 23,41 segundos.

b) o percurso do carro B até alcançar o carro A.

Para determinarmos o percurso do carro B até alcançar o carro A, podemos resolver por duas maneira:

Usando a equação do deslocamento do carro A:

S = S0 + v.t

S = 200 + 50.23,41

Sa = 200 + 1170,5

Sa = 1370,5 m

Usando a equação do deslocamento do carro B:

Sb = 2,5.t²

Sb = 2,5.(23,41)²

Sb = 2,5.548,03

Sb = 1370,1 m

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Cinemática V

Em pista reta, um carro progride com velocidade constante v = 20m/s. À beira da estrada está postado u guarda rodoviário com motocicleta. Quando o carro está a 100m à frente do guarda, este parte e põe-se no encalço do carro com aceleração constante a (t) = 4,0 m/s². Pedem-se:

a) o tempo necessário para o guarda alcançar o carro;

O tempo necessário para o guarda alcançar o carro, será quando as posições forem iguais:

Scarro = Smoto

A moto realiza movimento uniformemente variado, ou seja, velocidade é variável e a aceleração constante. Portanto usaremos a equação horária do movimento uniformemente variável:

a(t) = 4 m/s²

Smoto = So + vo.t +   1   .a.t²

                                  2

Smoto =    4.t²   

                2 

Smoto = 2t²

Como não há mais nada a fazer na equação por termos duas incógnitas seguiremos nossos cálculos e ver o que nos aguarda.

O enunciado nos diz que a velocidade do carro é constante, se é constante então será movimento uniforme.

V= 20 m/s                      So = 100m

Scarro = 100 + 20.t

Também obtivemos duas incógnitas, agora para determinar-se o tempo igualaremos as equações:

Scarro = Smoto

100+20.t = 2.t²

2.t² - 20.t - 100 = 0

Para resolvermos usaremos Bháskara

x =    -(-20) ±√(-20)² - 4.2.(-100)   

                  2.2

x =  20 ±√400+ 800   

              4

x¹ =   20 + √ 1200  

               4

x¹ =   56,64  

           4

x¹ = 13,66 

x² =   20 - √1200  

             4

x² =   -34,64  

           4

x² = - 3,66

O que nos interessa será o valor positivo, portanto o tempo necessário para o guarda alcançar o carro é de 13,66 segundos.

b) a velocidade da moto no instante em que alcança o carro;

Sabemos que a moto realiza  movimento uniformemente variado, então temos:

v = vo + a.t

v = 4.13,66

v = 54,64 m/s

c) o percurso da moto até alcançar o carro.
Para determinarmos o percurso da moto até alcançar o carro, podemos resolver por duas maneira:

Usando a equação do deslocamento do carro:

S = S0 + v.t

Scarro = 100 + 20.13,66

Scarro = 100 + 273,2

Scarro = 373,2 m

Usando a equação do deslocamento da moto:

Smoto = 2.t²

Smoto = 2.(13,66)²


Smoto = 2.186,59

Scarro = 373,2 m

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Cinemática Vetorial III

1) Um móvel desloca-se segundo: x=t²; y= 5.t [S.I.]. Pedem-se:

a) a equação da trajetória;

Para determinarmos a equação da trajetória sabemos

   →       →    →

que r(t) = x.i + y.j, ou seja, temos duas equações paramétricas da trajetória que são:

x = t²

y = 5.t

Eliminaremos nossa variável tempo, para obtermos nossa equação da trajetória.

t =    y   

        5

Substituindo na equação paramétrica x:

x = t²

x = (y/5)²

x =    y²   

       25

b) a equação horária do vetor posição;

O exercício nos dá as equações paramétricas da trajetória, que são referentes ao deslocamento, então basta fazermos:

→      →    →

 r(t) = x.i + y.j

Onde:

x = t²

y = 5.t

→      →     →

r(t) = t².i + 5.t.j

c) a equação horária da velocidade;

Para determinarmos a equação horária da velocidade temos que derivar a equação horária do vetor posição:

→         →    →

r(t) = t².i + 5.t.j

→       →  →

v(t) = 2t.i + 5.j

d)  a equação horária da aceleração;

Para determinarmos a equação horária da aceleração temos que derivar a equação horária da velocidade:

→        →    →

v(t) = 2t.i + 5.j

→     →

a(t) = 2.i

e) o instante em que a velocidade é mínima;

O instante em que que a velocidade será minima será no t = 0s.

t = 0s

→        →   →

v(0) = 2.0.i + 5.j

→      →

v(0) = 5.j (m/s)

f) as componentes tangencial e normal da aceleração, em t = 2s.

O vetor aceleração pode ser expresso em função de duas componentes, uma na direção do vetor velocidade que é denominada de direção tangente, e, a outra na direção do raio, com sentido apontada para o centro do arco de circunferência que é denominada de direção normal.

Para se determinar a aceleração tangencial, podemos obtê-la através da equação abaixo:

→      →    →

at =    v(t) . a(t)   

             →

           lv(t)l 

Na questão pede-se as componentes tangencial e normal da aceleração no instante 2segundos, portanto para calcularmos a aceleração tangencial vamos calcular a velocidade no instante t = 2s.

 →        →      →

v(2) = 2.2.i + 5.j

→     →      →

v(2) = 4.i + 5.j (m/s)

No caso da aceleração deste exercício será sempre constante independente de qual seja o instante:

→        →

a(2) = 2.i (m/s²)

                              →

Para calcularmos lv(2)l entraremos no Teorema de Pitágoras,  pois

o vetor velocidade é a hipotenusa do triângulo retângulo

              →   →

 de lados v.i e v.j.

→      

lv(2)l = √4² + 5²

→    

lv(2)l = √41

→      

lv(2)l = 6,4

Substituindo:

→         →     →

at =    v(2) . a(2)   

              →

           lv(2)l 

→      →   →      →

at=    (4.i + 5.j) + (2.i)   

                6,4

→   

at =    8 + 5.0    

            6,4

→    

at =    8     

       6,4

→      

at = 1,25 (m/s²)

Para determinarmos a normal da aceleração sabemos que o vetor aceleração é a hipotenusa do triângulo retângulo de lados at e an, portanto temos:

→         →      →

latl² = at²  +   an²

→        →      →

an = √latl² - at²   

→      

an = √ 2² - 1,25²

→      

an = √ 4 - 1,5625

→    

an =√ 2,4375

→      

an =1,56 (m/s²)

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Cinemática Vetorial

Um móvel desloca-se segundo a equação horária da velocidade:

→                   →        →

V (t) = (5.t + 10). i + 10.t².j [S.I.]; no instante t = 3s, o móvel encontra-se na origem, pedem-se:

a) o vetor posição em função do tempo;

Para determinarmos o vetor posição em função do tempo devemos integrar a equação horária da velocidade, que pode-se integrar cada projeção separadamente ou juntas, no primeiro caso iremos integrar cada projeção separadamente e depois juntos, primeiramente iremos integrar a projeção em i, então temos:

→                 →

v(t) = (5.t + 10). i 

→                        →  

r(t) =   5.t²   + 10.t + C
             2 

→                        →      

r(t) = 2,5.t² + 10.t + C

                                  →
Para determinarmos o "C" o exercício nos informa que no instante 3s o móvel encontra-se na origem, ou seja,  0.

→                         →

r(3) = 2,5.t² + 10.t + C

                             →

0 = 2,5.(3)² + 10.(3) + C

→

C = -22,5 - 30

→

C = - 52,5

Portanto:

→                            →

r(t) = (2,5.t² + 10.t -52,5)i

                      →
Integral projeção j:

→         →

v(t) = 10.t².j

→                 →

r(t) =   10.t³   + C

            3

→                  → 

r(t) = 3,33.t³ + C

                                   →
Para determinarmos o "C" o exercício nos informa que no instante 3s o móvel encontra-se na origem, ou seja,  0.
→                →
r(3) = 3,33.t³ + C

                   →

0 = 3,33.(3)³ + C

→

C = -90

Portanto:

→                    →

r(t) = (3,33.t³ - 90)j

Juntando as equações integradas temos:

→                           →                     →

r(t) = (2,5.t² + 10.t -52,5)i + (3,33.t³-90)j 

Calculando diretamente:

→                →        →

V (t) = (5.t + 10). i + 10.t².j

→                →                →    →

r(t) = (  5.t²   + 10.t).i +(  10.t³).j + C

             2                          3

→                    →            →     →

r(t) = (2,5.t² + 10.t). i + (3,33.t³)j + C

                                 →
Para determinarmos o "C" o exercício nos informa que no instante 3s o móvel encontra-se na origem, ou seja,  0.

→                        →            →     →

r(3) = (2,5.3² + 10.3). i + (3,33.3³)j + C

                   →      →   →
0 = (22,5 + 30)i + (90)j + C

 →         →       →
C =  (-52,5)i + (-90)j


Substituindo:
→                     →            →     →
r(t) = (2,5.t² + 10.t). i + (3,33.t³)j + C

→                        →          →           →     →

r(t) = (2,5.t² + 10.t). i + (3,33.t³)j + (-52,5)i + (-90)j

Somando as projeções iguais temos:

→                           →                   →

r(t) = (2,5.t² + 10.t -52,5)i + (3,33.t³-90)j 

b) o vetor posição nos instantes 0 e 10s;

Para acharmos a posição nos instantes pedidos basta substituirmos o "t" na equação abaixo:

Para t = 0s:

→                                 →                       →

r(0) = (2,5.(0)² + 10.(0) -52,5)i + (3,33.(0)³ - 90)j

v             →     →

r(0) = (-52,5i - 90j) (m)

Para t = 10s:

→                                     →                           →

r(10) = (2,5.(10)² + 10.(10) -52,5)i + (3,33.(10)³ - 90)j

→                             →               →

r(10) = (250 + 100-52,5)i +(3330 - 90j)

→                →      →

r(10) = (297,5i + 3240j) (m)

c) o vetor deslocamento no intervalo de tempo entre 0 e 10s;

Para determinarmos qual foi o deslocamento basta fazer a subtração do tempo final com o inicial:

∆r = r(10) - r(0)

               →       →           →      →

∆r = (297,5i + 3240j) -  (-52,5i - 90j)

             →      →

∆r = (350i + 3330j) (m)

                                                 →    →  →     → 

Não olvidar que a subtração é feita i com i e j com j, 

                         →      →   →     →

jamais deve fazer i com j ou j com i.

d) o vetor velocidade média no intervalo de tempo entre 0 e 10s;

vm =   ∆r  

          ∆t

             →        →

vm =   (350i + 3330j)   

                    10

        →        →

vm = (35i + 333j) (m/s)

e) o vetor aceleração média no intervalo de tempo entre 0 e 10s;

Para determinarmos a aceleração média devemos calcular a velocidade em cada instante pedido:

Para t = 0s.

→              →          →

V (t) = (5.t + 10). i + 10.t².j

→                   →            →

V (0) = (5.(0) + 10). i + 10.(0)².j

→      →

V(0) = 10i (m/s)

Para t = 10s.

→                       →                →

V (10) = (5.(10) + 10). i + 10.(10)².j

→      →          →

v(10) = (60i +1000j) (m/s)

am =   ∆v  

          ∆t

            →      →       →

am =    (60i +1000j)  -(10i)   

                        10

             →        →

am =    (50i +1000j)   

                  10

            →    →

am =    (5i +100j)(m/s²)

  

f) o vetor aceleração em função do tempo.

Para determinarmos o vetor aceleração em função do tempo, devemos derivar a equação da velocidade:

→                  →       →

V (t) = (5.t + 10). i + 10.t².j

→     →        →

a(t) = 5i + 20.t.j (m/s²)

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Cinemática IV

Um coelho e uma tartaruga resolvem apostar uma corrida ao longo de um percurso de 600m. A tartaruga tem velocidade constante v_t = 2m/min, enquanto que o coelho tem velocidade constante de v_c = 10 km/h. No disparo do cronômetro (t = 0), ambos os corredores partem. Após dois minutos de corrida o coelho está tão distante da tartaruga que resolve tirar uma soneca, seu sono tem duração de 4h 56min e 24s. O coelho é acordado com fogos de artifício que comemoram a iminência da vitória da tartaruga, que nesse instante encontra-se a 3,2 m da linha de chegada. O coelho levanta-se e parte impondo-se um grande esforço, mantém velocidade de 15 km/h. Determinar se o coelho ganha ou perde a corrida.

Tempo que a Tartaruga levará para percorrer os 600m:

v_t = 2m/min                S = 600m

S = So + v.t

600 = 2.t

t = 600 / 2

t = 300 min

A nossa tartaruga percorrerá os 600m em 300 min.

Deslocamento o coelho irá fazer em 2min.

v_c = 10 km/h               S = 600m

Analisando as unidades notamos que a velocidade do coelho está em km/h, como temos que trabalhar sempre com as mesmas unidades a converteremos para m/min, portanto 10 km/h será 166,67 m/min.

10km = 10000m
1h = 60 min

10000/ 60 = 166,67m/min

S = So + v.t

S = 166,67.2

S = 333,34 m

O nosso coelho percorrerá 333,34m em 2 min.

Agora temos que saber o tempo gasto para o coelho terminar a corrida com velocidade de 15km/h = 250m/min.

S = So + v.t

600 = 333,34 + 250.t

266,66 = 250.t

t = 1,07min

A soneca do coelho foi de 4h 56 min e 24s, iremos converter o tempo de soneca para minutos para trabalharmos com unidades iguais.

4h ---------- x

1h ----------60 min

x = 240min

24s ----------x

60s ---------1min

x = 0,4 min

Somando tudo temos: 240 min + 56min + 0,4 min = 296,4 min.

O tempo de soneca em minutos é de 296,4.

Somando o tempo de soneca, os 2 minutos e o tempo gasto para terminar o percurso, temos:

2 + 1,07 + 296,4 = 299,47 min

Tempo gasto pela tartaruga é 300 min.

Portanto, nosso coelho ganhará a corrida.

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Cinemática III

Um ônibus parte de São Paulo no instante inicial (t = 0), mantendo velocidade constante v₁ = 85 km/h, com destino ao Rio de Janeiro. Um segundo ônibus parte do Rio de Janeiro com destino à São Paulo, vinte minutos após o primeiro ter partido mantendo constante v₂ = 90 km/h. Considerar para efeito de calculo que a distancia entre São Paulo e Rio de Janeiro seja 400 km.

Pedem-se:

a)      A distância do ponto de encontro dos ônibus à São Paulo.

O encontro ocorre quando ambos têm a mesma posição, então temos:

S₁ = S₂

Ambos serão movimentos uniformes, pois a aceleração é nula e a velocidade é constante.

Sabemos que o primeiro ônibus tem velocidade constante de 85 km/h.

S₁ = So + v.t

S₁ = 85.t (I)

No segundo ônibus sabemos que a velocidade é de 90 km/h e parti após 20 minutos que o primeiro ônibus sai de São Paulo, ou seja, após 1/3 h – não olvidem-se de converter o tempo de minutos para horas.

Obs: Nossa velocidade será negativa, pois está em sentido contrario.

S₂ = So - V.(t-to)

S₂ = 400 – 90.(t – 1/3)

S₂ = 400 – 90t + 30

S₂ = 430 – 90.t

Igualando as equações temos:

S₁ = S₂

85.t = 430 – 90.t

175.t = 430

t = 430

     175

t = 2,45h

 O instante de encontro é em 2,45h.

b)     O instante do encontro.

Para determinarmos a posição de encontro do primeiro ônibus com o segundo ônibus, basta substituirmos o tempo encontrado na questão acima na equação.

S_encontro = 85.t

S_encontro = 85.2,45

S_encontro = 208,25km

A posição de encontro é em 208,25 km.

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Cinemática II

Um coelho e uma tartaruga resolvem apostar uma corrida ao longo de um percurso de 600m. A tartaruga tem velocidade constante v_t = 2m/min, enquanto que o coelho tem velocidade constante de v_c = 10 km/h. No disparo do cronômetro (t = 0), ambos os corredores partem. Após dois minutos de corrida o coelho está tão distante da tartaruga que resolve tirar um soneca, seu sono tem duração de 4h 56min e 24s. O coelho é acordado com fogos de artifício que comemoram a iminência da vitória da tartaruga, que nesse instante encontra-se a 3,2 m da linha de chegada. O coelho levanta-se e parte. Determinar se o coelho ganha ou perde a corrida.

Tempo que a Tartaruga levará para percorrer os 600m:

v_t = 2m/min                S = 600m

S = So + v.t

600 = 2.t

t = 600 / 2

t = 300 min

A nossa tartaruga percorrerá os 600m em 300 min.

Tempo que o coelho levará para percorrer os 600m:

v_c = 10 km/h               S = 600m

Analisando as unidades notamos que a velocidade do coelho está em km/h, como temos que trabalhar sempre com as mesmas unidades a converteremos para m/min, portanto 10 km/h será 166,67 m/min.

10km = 10000m
1h = 60 min

10000/ 60 = 166,67m/min

S = So + v.t

600 = 166,67.t

t = 600 / 166,67

t = 3,6 min

O nosso coelho percorrerá os 600m em 3,6 min.

Agora para sabermos se o coelho ganhará ou perderá a corrida, devemos somar o tempo da soneca com o tempo gasto para percorrer os 600m.

A soneca do coelho foi de 4h 56 min e 24s, iremos converter o tempo de soneca para minutos para trabalharmos com unidades iguais.

4h ---------- x

1h ----------60 min

x = 240min

24s ----------x

60s ---------1min

x = 0,4 min

Somando tudo temos: 240 min + 56min + 0,4 min = 296,4 min.

O tempo de soneca em minutos é de 296,4.

Somando a soneca com o tempo gasto para o coelho percorrer os 600m, temos:

3,6 + 296,4 = 300min

Ambos gastarão o mesmo tempo para percorrer os 600m , portanto houve empate na competição.

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!