→ → →
V (t) = (5.t + 10). i + 10.t².j [S.I.]; no instante t = 3s, o móvel encontra-se na origem, pedem-se:a) o vetor posição em função do tempo;
Para determinarmos o vetor posição em função do tempo devemos integrar a equação horária da velocidade, que pode-se integrar cada projeção separadamente ou juntas, no primeiro caso iremos integrar cada projeção separadamente e depois juntos, primeiramente iremos integrar a projeção em i, então temos:
→ →
v(t) = (5.t + 10). i
→ →
r(t) = 5.t² + 10.t + C2
→ →
r(t) = 2,5.t² + 10.t + C→
Para determinarmos o "C" o exercício nos informa que no instante 3s o móvel encontra-se na origem, ou seja, 0.
→ →
r(3) = 2,5.t² + 10.t + C
→
0 = 2,5.(3)² + 10.(3) + C
→
C = -22,5 - 30
→
C = - 52,5
Portanto:
→ →
r(t) = (2,5.t² + 10.t -52,5)i
→
Integral projeção j:
→
Integral projeção j:
→ →
v(t) = 10.t².j
→ →
r(t) = 10.t³ + C
3
→ →
r(t) = 3,33.t³ + C
→
Para determinarmos o "C" o exercício nos informa que no instante 3s o móvel encontra-se na origem, ou seja, 0.
→ →
r(3) = 3,33.t³ + C
Para determinarmos o "C" o exercício nos informa que no instante 3s o móvel encontra-se na origem, ou seja, 0.
→ →
r(3) = 3,33.t³ + C
→
0 = 3,33.(3)³ + C
→
C = -90
Portanto:
→ →
r(t) = (3,33.t³ - 90)j
Juntando as equações integradas temos:
→ → →
r(t) = (2,5.t² + 10.t -52,5)i + (3,33.t³-90)j
Calculando diretamente:
→ → →
V (t) = (5.t + 10). i + 10.t².j
→ → → →
r(t) = ( 5.t² + 10.t).i +( 10.t³).j + C
→ → → →
r(t) = (2,5.t² + 10.t). i + (3,33.t³)j + C→
Para determinarmos o "C" o exercício nos informa que no instante 3s o móvel encontra-se na origem, ou seja, 0.
→ → → →
r(3) = (2,5.3² + 10.3). i + (3,33.3³)j + C0 = (22,5 + 30)i + (90)j + C
→ → →
C = (-52,5)i + (-90)j
Substituindo:
→ → → →
r(t) = (2,5.t² + 10.t). i + (3,33.t³)j + C
→ → → → →
r(t) = (2,5.t² + 10.t). i + (3,33.t³)j + (-52,5)i + (-90)j
Somando as projeções iguais temos:
→ → →
r(t) = (2,5.t² + 10.t -52,5)i + (3,33.t³-90)j
b) o vetor posição nos instantes 0 e 10s;
Para acharmos a posição nos instantes pedidos basta substituirmos o "t" na equação abaixo:
Para t = 0s:
→ → →
r(0) = (2,5.(0)² + 10.(0) -52,5)i + (3,33.(0)³ - 90)j
v → →
r(0) = (-52,5i - 90j) (m)
Para t = 10s:
→ → →
r(10) = (2,5.(10)² + 10.(10) -52,5)i + (3,33.(10)³ - 90)j
→ → →
r(10) = (250 + 100-52,5)i +(3330 - 90j)
→ → →
r(10) = (297,5i + 3240j) (m)
c) o vetor deslocamento no intervalo de tempo entre 0 e 10s;
Para determinarmos qual foi o deslocamento basta fazer a subtração do tempo final com o inicial:
∆r = r(10) - r(0)
→ → → →
∆r = (297,5i + 3240j) - (-52,5i - 90j)
→ →
∆r = (350i + 3330j) (m)
→ → → →
Não olvidar que a subtração é feita i com i e j com j,
→ → → →
jamais deve fazer i com j ou j com i.
d) o vetor velocidade média no intervalo de tempo entre 0 e 10s;
vm = ∆r
∆t
→ →
vm = (350i + 3330j)
10
→ →
vm = (35i + 333j) (m/s)
e) o vetor aceleração média no intervalo de tempo entre 0 e 10s;
Para determinarmos a aceleração média devemos calcular a velocidade em cada instante pedido:
Para t = 0s.
→ → →
V (t) = (5.t + 10). i + 10.t².j
→ → →
V (0) = (5.(0) + 10). i + 10.(0)².j
→ →
V(0) = 10i (m/s)
Para t = 10s.
→ → →
V (10) = (5.(10) + 10). i + 10.(10)².j
→ → →
v(10) = (60i +1000j) (m/s)
am = ∆v
∆t
→ → →
am = (60i +1000j) -(10i)
10
→ →
am = (50i +1000j)
10
→ →
am = (5i +100j)(m/s²)
f) o vetor aceleração em função do tempo.
Para determinarmos o vetor aceleração em função do tempo, devemos derivar a equação da velocidade:
→ → →
V (t) = (5.t + 10). i + 10.t².j
→ → →
a(t) = 5i + 20.t.j (m/s²)
Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!
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