Regra da Cadeia para funções de 2 variáveis I

Para função de 1 variável tínhamos:

f(x(t))

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x   
  ∂t           ∂x         ∂t


Para Regra da Cadeia de funções de 2 variáveis:

f(x(t), y(t)

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

Primeiro deriva-se a função em função de x e em seguida deriva-se x em função do tempo, faz-se o produto da derivada da função em x pelo x derivado em função do tempo, faz-se o mesmo esquema com y, para finalizar só realizar somatória.



Exemplo 1: Se f(x,y) = x²y + 3xy², onde x = sen2t e y = cost determine df/dt quando t = 0s.

Derivando em função de x:

   ∂f    = 2xy + 3y²
  ∂x

Derivando em função de y:

   ∂f    = x² + 6xy
  ∂x

Derivando x em função do tempo:

   ∂x    = cos(2t).2
  ∂t

Substituindo t por t = 0s.

   ∂x    = cos(2.0).2
  ∂t

   ∂x    = 2
  ∂t

Derivando y em função do tempo:

   ∂y    = -sent
  ∂t

   ∂y    = -sen0
  ∂t

   ∂y    = 0
  ∂t

Substituindo na equação geral ∂f/∂t

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

   ∂y    = (2xy +3y²).2 + (6.x.y).0
  ∂t

   ∂y    = 4xy + 6y²
  ∂t

Substituindo o ''x'' e ''y'' pelas equações dadas pelo exercício:

   ∂y    = 4(sen(2t)).(cos(t)) + 6(cos(t))²
  ∂t

Substituindo pelo tempo dado t = 0s:

   ∂y    = 4(sen(2.0)).(cos(0)) + 6(cos(0))²
  ∂t

   ∂y    = 6
  ∂t

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Derivada Direcional III

Determinar a derivada  direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v.

f(x,y) = ln(x² + y²), P = (2,-1) e  u = (-1,2)

Derivando f(x):

f(x) =     2x    

          x² + y²

Substituindo pelos pontos:

f(x) =     2.2    

          (2)² + (1)²

f(x) = 4/5

Derivando f(y):

f(y) =    2y    

          x² + y²

Substituindo pelos pontos:

f(x) =     2.1    

          (2)² + (1)²

f(x) = 2/5

grad f(2,-1) = (4/5,2/5)

Calculado o vetor gradiente, calcula-se o módulo de u para determinar o versor.

|u| = √(1² + 2²)

|u| = √ 3

versor =    u   
               |u|

versor = (-1/√3, 2/√3)

Determinado o versor basta fazer o produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (4/5,2/5).(-1/√3, 2/√3)

Duf (x,y) =    -4    +    4    = 

                5√3       5√3      

Duf (x,y) =    - 4  .    √3    +    4    .    √3   

                5√3      √3       5√3       √3      

Duf (x,y) =     -4√3    +    4√3   

                     15               15       

Duf (x,y) = 0



2) g(r,θ) = e-π senθ, P = ( 0, π/3) e v = 3î - 2ĵ

Derivando g(x):

g(r) = - e-π senθ

Substituindo pelos pontos:

g(x) = - e-0 sen(π/3)

g(x) = -√3/2

Derivando f(θ):

f(θ) = e-π cosθ

Substituindo pelos pontos:

g(θ) = e-0 cos(π/3)

g(θ) = 1/2

grad f(2,-1) = (-√3/2,1/2)

Calculado o vetor gradiente, calcula-se o módulo de u para determinar o versor.

|u| = √(3² + 2²)

|u| = √13

versor =    u   
               |u|

versor = (3/√13, -2/√13)

Determinado o versor basta fazer o produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Dug(r,θ) = grad f(2,-1).u

Dug(r,θ) =  (-√3/2,1/2). (3/√13, -2/√13)

Dug(r,θ) =    -3√3     -     2    = 

                2√13         2√13      

Dug(r,θ) =    -3√3   .    √13    -     2     .    √13   
                   2√13      √13       2√13       √13      

Dug(r,θ) =     -3√39    -    2√13   

                    26              26       

Dug(r,θ) =     -3√39 -   2√13   

                         26             

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Derivada Direcional I

Seja z = f(x,y) uma função de 2 variáveis que representa uma superfície S no espaço. Se P = (xo,yo,zo) é um ponto fixo de S e u = u1î + u2ĵ é o versos de u, então a derivada direcional de f(x,y) em P na direção do versor u é:

Duf(x,y) = grad f(x,y).u


Exemplo 1: Encontrar a derivada direcional de f(x,y) = x²y³ - 4y no ponto (2,-1) na direção do vetor u = 2î + 5ĵ

f(x,y) = x²y³ -4y

Derivando f(x):

f(x) = 2xy³ 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.2.(-1)³

f(x) = -4

Derivando f(y):

f(y) =3x²y² - 4

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 3.(2)².(-1)² - 4

f(x) = 8

grad f(2,-1) = (-4,8)

Calculado o vetor gradiente, calcula-se o módulo de u para determinar o versor.

|u| = √(2² + 5²)

|u| = √ 29

versor =    u   
               |u|

versor = (2/√29, 5/√29)

Determinado o versor basta fazer o produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (-4,8).(2/√29, 5/√29)

Duf (x,y) =    -8    +    40    =    32  

                     √29       √29      √29

Duf (x,y) =     32   .    √29   

                     √29       √29      

Duf (x,y) =     32√29   

                      29       

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Derivadas Parciais de Ordem Superior

Dada a função z = ln(x² + y²), calcule    ∂³z    .
                                                   ∂x∂y²  

Na derivada de Ordem Superior dada pelo exercício significa derivada de 3ª ordem de z em função da derivada de 2ª ordem de função de y, que após ser calculada derivar-se-à em função de x:

   ∂³z    =     ∂(∂²z)     
   ∂x∂y²     ∂x(∂y²) 

Lembrando que no denominador começará pela derivada da direita para a esquerda.


Se fosse   ∂²z    seria: 
              ∂x∂y 

Derivada de 2ª de z em função da derivada de 1ª ordem em função de z, que após ser calculada derivar-se-à em função de x:

   ∂²z    =     ∂(∂z)     
   ∂x∂y²     ∂x(∂y) 


Voltando ao exercício:

Deve-se aplicando a Regra do Quociente:

Derivada Parcial  de 1ª em função de y: 
   ∂z    =        1       . 2y
   ∂y        (x²+y²)

   ∂z    =       2y      
   ∂y        (x² + y²)


Derivada Parcial  de 2ª em função de y:

   ∂z    =       2y      
   ∂y        (x² + y²)

   ∂²z    =        2. (x² + y²) -2y.(2y)   
   ∂y²                (x² + y²)²

   ∂²z    =        2.x² + 2y² - 4y²   
   ∂y²               (x² + y²)²

   ∂²z    =        2.x² - 2y²   
   ∂y²          (x² + y²)²


Derivada Parcial  de 1ª em função de x:

     ∂³z      =       2.x² - 2y²   
   ∂x∂y²          (x² + y²)²

   ∂³z    =     ∂(∂²z)   
   ∂x∂y²     ∂x(∂y²)                

     ∂³z      =    4x².(x² + y²) - (2.x² - 2y²).2(x² + y²).2x   
   ∂x∂y²                      ((x² + y²)²)²

     ∂³z      =    4x².(x² + y²) - 4x(2.x² - 2y²).(x² + y²)   
   ∂x∂y²                    (x² + y²)4


Pode-se também simplificar a equação, aplicando distributiva:

     ∂³z      =     4x4 + 4x²y² - 4x.(2x4  + 2x²y² - 2x²y²  -2y4)   
   ∂x∂y²                          (x² + y²)4

     ∂³z      =    4x4 + 4x²y² - 4x.(2x4  -2y4)   
   ∂x∂y²                     (x² + y²)4

∂³z      =    4x4 + 4x²y² - 8x5  + 8xy4   
∂x∂y²                      (x² + y²)4

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Derivadas Parciais de 1ª e 2ª Ordem

Nas Derivadas Parciais de 1ª Ordem basta derivar a f(x,y) em função de x (f(x)) e depois em função de y (f(y)).

Nas Derivadas Parciais de 2ª Ordem basta derivar a função de x (f(x)) da derivada de 1ª Ordem em função de x (f(xx)) e em função de y (f(xy)),e, faz-se o mesmo com f(y) da derivada de 1ª Ordem, derivando em x (f(yx)) e em y (f(yy)).

Para saber se as derivadas foram feitas corretamente, deve-se obter o mesmo valor para as derivadas fxy e fyx.

Exemplo 1: f(x,y) = x³ + x²y² -2y²

Derivada Parcial de 1ª Ordem:

f(x) = 3x² + 2xy²

f(y) = 3x²y² + 4y


Derivada Parcial de 2ª Ordem:

f(x) = 3x² + 2xy²

f(xx) = 6x + 2y³

f(xy) = 6xy²


f(y) = 3x²y² + 4y

f(yx) = 6xy²

f(yy) = 6x²y - 4

Observe que as derivadas das funções f(xy) e f(yx) obteve o mesmo resultado, portanto os cálculos estão corretos.



Exemplo 2: f(x,y) = sen(2x + y)

Derivada Parcial de 1ª Ordem:

f(x) = cos(2x + y).2

f(y) = cos(2x + y)


Derivada Parcial de 2ª Ordem:

f(x) = 2.cos(2x + y)

f(xx) = - 4.sen(2x + y)

f(xy) = - 2.sen(2x + y)


f(y) = cos(2x + y)

f(yx) = - 2.sen(2x + y)

f(xy) = - sen(2x + y)

Novamente observa-se que as derivadas das funções f(xy) e f(yx) obteve o mesmo resultado, portanto os cálculos estão corretos.

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Vetor Gradiente

Seja a função dada z = f(x,y) que admite derivadas de 1ª ordem no ponto (xo,yo), então o vetor gradiente da função f no ponto (xo,yo) é dada por:

grad f(xo,yo) =    ∂f   î +    ∂f   ĵ +    ∂f   k

                            ∂x          ∂y          ∂z

O vetor gradiente indica a direção e sentido de maior crescimento e decrescimento de uma função.    

Exemplos; Encontre as direções nas quais as funções crescem e decrescem mais rapidamente em Po.

a) f(x,y) = x³ + xy + y² , Po = (-1,3)

Derivando f(x):

f(x) = 3x² + y

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 3.(-1)² + 3

f(x) = 6

Derivando f(y):

f(y) = x + 2y

Substituindo pelos pontos:

f(x) = -1 +2.3

f(x) = 5

grad f(x,y) = 6î + 5ĵ

b) f(x,y) = sen(2x) + e^(2xy), Po = (0,1)

Derivando f(x):

f(x) = 2.cos(2x) + 2y.e^(2xy)

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.cos(2.0) + 2.y.e^(2.0.1)

f(x) =  2 + 2

f(x) =  4

Derivando f(y):

f(y) = 2x.e^(2xy)

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.0.e^(2.0.1)

f(x) = 0

grad f(x,y) = 4î 

b) f(x,y,z) = x².y².z², Po = (1,2,3)

Derivando f(x):

f(x) = 2.x.y².z²

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.(1).(2)².(3)²

f(x) =  72

Derivando f(y):

f(y) = 2.x².y.z²

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.(1)².(2).(3)²

f(x) =  36

Derivando f(z):

f(y) = 2.x².y².z

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.(1)².(2)².(3)

f(x) =  24

grad f(x,y,z) = 72î + 36ĵ + 24k

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Reta tangente

Seja z = √(x² + y²)

Determine a equação da reta tangente às curvas de intersecção da superfície no ponto P( 2,√5,3), com o plano x = 2.

Sabe-se que a equação da reta é dada por y = ax + b, sendo que ax + b é variável em y, portanto ∂z/∂y = ax + b.
Derivando a equação teremos:
  ∂z   = a
 ∂y

substituindo o z na equação:

z = √(x² + y²)

z = (x² + y²)^1/2

  ∂(x² + y²)^1/2   = a
 ∂y

Não olvidem-se de aplicar a Regra da cadeia.

a =   1    . (x² + y²)^(-1/2) . 2y
        2

a =         y        
        (x² + y²)^(1/2)

a =         y        
       √(x² + y²)

O último passo é só substituir pelos valores da superfície nos P( 2,√5,3):

a =        √5        
       √(2² + √5²)

a =  √5 
       √9

a =  √5 
       3

Portanto:

 y = ax + b

 y =  √5 x + b
         3

Calculando o coeficiente linear:

x = 2          y = √5

√5 =  √5  . 2 + b
         3

b = √5 -  2√5 
                3
Fazendo m.m.c

b =  3√5 -  2√5 
            3

b =  √5 
       3

Portanto a equação da reta é:

y =  √5 x +  √5 
       3           3

Realizaremos o cálculo  com o plano y = √5, com os mesmos pontos do cálculo anterior.

Obs: No exercício anterior o plano pedido era em x, ou seja, plano em x é constante e o que somente irá variar é o plano y, portanto derivamos a equação da reta em função de y.
Neste segundo exemplo o plano pedido é em y, ou seja, será constante e o plano em x terá variação, portanto derivamos a equação da reta em função de x.


Derivando a equação da reta em x, temos:

∂z/∂x = ax + b.

  ∂z   = a
 ∂x

substituindo o z na equação:

z = √(x² + y²)

z = (x² + y²)^1/2

  ∂(x² + y²)^1/2   = a
 ∂x

Não olvidem-se de aplicar a Regra da cadeia.

a =   1    . (x² + y²)^(-1/2) . 2x
        2

a =            x            
        (x² + y²)^(1/2)

a =         x        
       √(x² + y²)

O último passo é só substituir pelos valores da superfície nos P( 2,√5,3):

a =         2         
       √(2² + √5²)

a =   2  
       √9

a =   2   
       3

Portanto:

 y = ax + b

 y =  2   . x + b
         3

Calculando o coeficiente linear:

x = 2          y = √5

√5 =   2   . 2 + b
         3

b = √5 -   4  
                3
Fazendo m.m.c

b =  3√5 - 4 
            3

Portanto a equação da reta é:

y =  √5 x +  3√5 - 4 
       3              3

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Derivadas Parciais de 1ª Ordem

Seja f (x,y) =    5xy²   , (x,y) ≠ (0,0).
                     x² + y²  

Calcular: f(1,2) -    ∂f   (1,2) +    ∂f   (1,2)
                        ∂x                 ∂y

Aplicar regra do quociente:

Derivando f(x):

   ∂f   =    5y².(x² + y²) - 5xy².2x   

  ∂x             (x² + y²)²

   ∂f   =    5y²x² + 5y4 - 10x²y²  

  ∂x             (x² + y²)²

   ∂f   =     5y4 - 5x²y²  

  ∂x           (x² + y²)²

Derivando f(y):

   ∂f   =    10x³y.(x² + y²) - 5xy².2y   

  ∂y             (x² + y²)²

   ∂f   =    10x³y + 10xy³ - 10xy³  

  ∂y             (x² + y²)²

   ∂f   =    10x³y   

  ∂y      (x² + y²)²

Calculando a equação:

f(1,2) -    ∂f   (1,2) +    ∂f   (1,2)
             ∂x              ∂y

Substituindo pelos valores dado de x e y na função e nas derivadas em x e em y.

f(1,2) =     5xy²   

             x² + y²

f(1,2) =     5.1.(2)²   

               (1)² + (2)²

f(1,2) =     20  

              5

f(1,2) = 4

   ∂f   =     5y4 - 5x²y²  

  ∂x           (x² + y²)²

   ∂f   =     5(2)4 - 5.(1)².(2)²  

  ∂x           ((1)² + (2)²)²

   ∂f   =     80 - 20  

  ∂x          25

   ∂f   =  2,4
  ∂x

   ∂f   =    10x³y   

  ∂y      (x² + y²)²

  ∂f   =     10.(1)³.2  

  ∂y       ((1)² + (2)²)²

   ∂f   =    20  

  ∂y          25

   ∂f   =  0,8
  ∂y 

Substituindo na equação:

f(1,2) -    ∂f   (1,2) +    ∂f   (1,2)
             ∂x              ∂y

4 - 2,4 + 2,8 = 2,4

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Integrais Duplas sobre uma região genérica

Existem dois tipos de regiõe sgenéricas

Região Tipo 1:

f1(x)  ≤  y ≤ f2(x) 
a ≤ x ≤ b

Integral:
a  f2
∫ ∫ f(x,y)dydx
 b  f1



Região Tipo II:

g1(y)  ≤  x ≤ g2(y) 
c ≤ y ≤ d

Integral:

a  g2
∫ ∫ f(x,y)dxdy
b  g1


Exemplo: 
∫ ∫ (x + 2y) dA
 R      
Onde R é a região limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1 + x²:

Temos duas parábolas que irão delimitar a região, a primeira parábola parte do ponto 0 em y e a segunda parte do ponto 1 em y, como mostrado na figura abaixo:



Para determinar o ponto de intersecção em x igualaremos as parábolas:

2x² = 1 + x²

x² = 1

x = ± 1

Portanto, em x irá variar de -1 a +1.

Para determinar se será Tipo 1 ou Tipo II, basta só observar o gráfico:

Ambas estão paralelas em função do eixo y, portanto será Tipo 1.

Não poderá ser tipo II, pois ao analisar o gráfico a parábola y = 2x² não estará em paralela com a parábola y = 1 + x².

1 + x² ≤  y ≤ 2x²
-1 ≤ x ≤ 1

1    1+x²
∫ ∫ (x + 2y)dydx
-1  2x²     

1 + x²
∫ (x + 2y)dy
 2x²   
    
         1+ x²
[(xy + y²)]
          2x²


[x(1 + x²) + (1 + x²)²] - [x(2x²) + (2x²)²]

Não esquecer de aplicar distributiva em (1 + x²)².

[x + x³ + 1 + 2x² + x^4] - [2x³ + 4x^4]

[x + x³ + 1 + 2x² + x^4 - 2x³ - 4x^4]

[x - x³ + 1 + 2x² - 3x^4]

Obtendo o resultado da integral em função de y, em seguida integra-se em função de x:

  1
∫ [x - x³ + 1 + 2x² - 3x^4]dx
 -1

                                             1
[(x²/2) - ((x^4)/4) + x + (2x³/3) - ((3x^5)/5)]
                                            -1

[(1²/2) - ((1^4)/4) + 1 + (2.(1)³)/3 - ((3.(1)^5)/5)] - [((-1)²/2) - ((-1)^4)/4 + (-1) + (2.(-1)³)/3 - ((3.(-1)^5)/5)]

1/2 - 1/4  + 1 + 2/3 -3/5 - 1/2 + 1/4 + 1 + 2/3 -3/5

2 + 4/3 - 6/5

   30  + 20 - 18  
        15

  32  

  15

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!