Regra da Cadeia

A figura a seguir ilustra a escada AB, de 7m de comprimento, apoiada em uma parede vertical. A base A da escada escorrega com velocidade horizontal de 0,04m/s. Calcule a velocidade com que o topo B da escada cai no instante em que a base da escada dista 1,1m da parede.

Primeiramente aplica-se o Teorema de Pitágoras para determinar-se o eixo y, para isto tem que isolá-lo.

x² + y² = 7²

y² = -x² + 49

y = √49-x²

Feito isto, deriva-se através da Regra da Cadeia.

y = (49 - x²)-1/2.-2x

y =    1   (49 - x²)-1/2.-2x

        2

y = (49 - x²)-1/2.-x

y =       -x       

     (49 - x²)-1/2

y =       -x       

    √49-x²

Para determinar-se o deslocamento em y no ponto em que a escada dista 1,1m da parede, basta substituir na equação derivada o x por 1,1.

   dy    =       -x       

   dx      √49-x²

   dy    =       -1,1       

   dx      √49-1,1²

   dy    = -6,9

   dx     

O deslocamento de y em relação a x foi de -6,9

A velocidade horizontal dada no exercício é de 0,04 m/s, que é através do deslocamento em x pelo tempo.

  dy    =    dy   .   dx   

 dt          dx      dt

   dy    = -6,9.0,04

 dt  

   dy    = -0,00676 m/s

 dt          

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Produto Escalar x Produto Vetorial

Produto Escalar
       →     →  
Sendo lul = 3, lvl = 2 e θ = 30º, 
                  →→                  →→
onde θ = ang(u.v), determine lu^vl.

cos 30º = √3/2

→→  →→

u.v = lul.lvl.cosθ

→→

u.v = 3.2.    √3   

                   2

→→

u.v =   6√3   

          2 

→→

u.v =   3√3   

         

Produto Vetorial
       
        →           →
Sendo lul = 9, lvl = 1/2 e θ = 60º, 
                   →→                    →→
onde θ = ang(u.v), determine lu^vl.

sen 60º = √3/2

→→  →→

u.v = lul.lvl.senθ

→→

u.v = 9.  1   .    √3   

          2          2

→→

u.v =   9√3   

          2 

Porque no produto escalar usa-se o cosseno e no vetorial usa-se o seno?

Pela propriedade do produto escalar sabemos que:

→→  →→

u.v = lul.lvl.cosθ, 0°≤ θ ≤ 180º.

A figura abaixo representa a situação:

                                                               →→

Tem-se um paralelogramo, cujo produto de u.v 

passa pelo angulo θ, portanto se passa pelo ângulo é cosseno.

Segundo a propriedade do produto vetorial sabemos que:
                                     →                    →                →→
Direção: se x ortogonal a u e x ortogonal a v, então x// u^v

Sentido: "Regra da mão direita", onde o produto se refletira em outro eixo, como mostrado abaixo:
→ →→
i ^ j = k

→→→
j ^k = i

→→→
k ^i = j

Comprimento: se θ é o ângulo entre os vetores
→→                          →→→→
u e v não nulos, então lu^vl = lul.lvl.senθ.

O produto nunca irá passar pelo ângulo entre u e v, portanto se não passa pelo ângulo é seno.

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Produto Vetorial

Considere o triângulo ABC definido pelos vetores AB = (4,1,-6) e AC = (0,-6,7)

a) Determine a área do triângulo ABC.

Calculando da esquerda para a direita temos:

((i.1.7) + (j.(-6).0) + (k.4.(-6))) = (7i -24k)

  ((k.7.0) + (i.(-6).(-6)) + (j.4.7)) = (36i + 28j)

Somando temos:
(7i -24k) - (36i + 28j)
(29i - 28j -24k)

(29,-28,-24)

Calculando a área do triangulo temos:

A =    1  . lu^vl 

          2

A =    1  . √29² + (28)² + (-24)²

          2

A = (√2201)/2 u. A.

b) Determine a altura hA relativa ao vértice A do triângulo ABC.

Para determinar-se a altura hA faz-se a soma vetorial de BC.

BC = BA + AC

BC = -AB + AC

BC = (-4,-1,6) + (0,-6,7)

BC = (-4,-7,13)

lBCl = √(-4)² + (-7)² + (13)²

lBCl = √234

Encontrando a altura temos:

A =    b.h   

         2

   √2201    =    √234.hA    

2                   2

 2√2201    =    √234.hA    

2                  

√2201    =    √234.hA    

   √2201    = hA    

√234

Não olvidem-se que jamais pode deixar uma fração com raiz como denominador, ou seja, deixá-la com número irracional, para isso deve se multiplicá-la por outra fração cujo numerador e denominador é igual ao número irracional apresentado no denominador, neste caso multiplica-se por √234.

hA =     √2201    .    √234    
          √234            √234


hA =   √515034   
          (√234)²

hA =   √515034   
           234

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Produto Escalar

                                               →                  →

Calcule o ângulo entre os vetores u = (-3,1,8) e v = (-5,0,-1).

Segundo a propriedade do produto escalar abaixo, temos:

→→  →→

u.v = lul.lvl.cosθ

Neste caso deve-se determinar o ângulo entre os vetores u e v, para tanto deve-se passar os módulos de u e v dividindo o produto escalar entre os vetores u e v, como mostrado a seguir.
                              →→
cosθ =          u.v        
              →→
             lul.lvl

Determiná-lo-emos separadamente:

Produto escalar entre os vetores:
→→
u.v = (-3,1,8).(-5,0,-1)

→→
u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2

→→
u.v = (-3).(-5) + 1.0 + 8.(-1)

→→
u.v = 15 -8 = 7

                                      →
Determinação do módulo de u:
→
lul = √ (-3)² + 1² + 8²

→
lul = √9+1+64

→
lul = √74

                                      →
Determinação do módulo de v:

→
lvl = √(-5)²+ 0²,(-1)²

→
lvl = √25+1

→
lvl = √26

Substituindo:
                →→
cosθ =          u.v        
               →→
               lul.lvl

cosθ =           7         
          √74.√26

cosθ =           7         
          √1924

Não olvidem-se que jamais pode deixar uma fração com raiz como denominador, ou seja, deixá-la com número irracional, para isso deve se multiplicá-la por outra fração cujo numerador e denominador é igual ao número irracional apresentado no denominador, neste caso multiplica-se por √1924.

cosθ =           7          .    √1924    
          √1924            √1924


cosθ =   7√1924   
          (√1924)²

cosθ =   7√1924   
          1924

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Energia e Trabalho II

Um corpo de massa m = 0,1 kg inicialmente parado sobre um plano horizontal sem atrito, fica sujeito a uma força variável com a posição conforme o diagrama dado. Calcular:

a) O trabalho realizado pela força entre as posições 0 e 3m.

Para determinar-se o trabalho realizado por F entre as posições 0 e 3m, deve-se calcular a área de cada figura geométrica apresentada no gráfico.

Área do Retângulo (horizontal): b.h

2.20 = 40J

Área do Retângulo (vertical): b.h

1.40 = 40J

Somatória dos trabalhos realizados:

τ0-3 = 40 + 40

τ0-3 = 80J

b) A energia cinética do corpo ao atingir a posição 3m.
Sabe-se que Energia Cinética é dada pela equação:

Ec =    m.v²   
             2

Substituindo temos:

Ec =    0,1.v²   
             2

Nota-se que há duas incógnitas, portanto adotaremos está equação como (I) e seguiremos para a próxima questão para vermos se nos é possível achar a velocidade e continuar o exercício.

c) A velocidade final (na posição 3m)

Para determinar-se a velocidade do móvel na posição 3m, sabe-se que o trabalho de todas as forças que estão atuando no corpo é igual à variação da energia cinética final menos a inicial.

_Frτ_0-3  = Е_cf - Е_ci

Sabe-se que a energia cinética é nula, pois a velocidade neste instante será 0.

_Frτ_0-3  = Е_cf

_Frτ_0-3  =     m.v²   

                   2

80 =    0,1. v²   

            2

v² = 160/0,1

v² = 1600

v = √1600

v = 40 m/s

Encontramos a velocidade, agora nos é possível continuar o cálculo da questão b, portanto temos:

Ec =    0,1.40²   
             2


Ec =    0,1.1600   
             2


Ec = 160/2


Ec = 80J

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!
             

Energia potencial Elástica II

Tendo recebido um impulso, um bloco de massa m = 4,0kg desliza sobre um plano horizontal, em direção a uma mola. A mola é leve e tem constante elástica k = 700N/m. O coeficiente de atrito é 0,25. A máxima compressão da mola é 10cm. Adotar g = 10 m/s². Determinar a velocidade do bloco no instante em que ele encosta na mola.

Observação: Pessoal no enunciado do exercício da apostila nos dá constante elástica k = 7000 N/m, mas a velocidade obtida não está de acordo com o resultado dado pela apostila, houve um equivoco, para lograr-se v = 1,5 m/s a constante elástica deve ser adotada como 700N/m, portanto adortaremos constante elástica k = 700 N/m, para chegarmos ao resultado dado pela apostila.

Antes de iniciar-se o cálculo revisaremos um pouco a teoria.


- Força elástica é uma força conservativa, pois seu trabalho só depende da posição inicial e da posição final:
             Ep =  Epi - Epf

Sabe-se que na  Epi o deslocamento da mola será 0.
Portanto teremos:  Ep =  - Epf


- A variação da Energia Cinética é dada pela equação:
             Ec =  Eci - Ecf

Sabe-se que a velocidade inicial do bloco é zero, entao a  Eci = 0.

Portanto teremos:  Ec =  - Ecf

- A energia potencial elástica será a resultante da soma da Força Elástica com o produto da Força de Atrito com o deslocamento de compressão da mola.

Analisando as unidades, temos:

m = 4,0 kg
k= 700N/m
μ = 0,25
g = 10 m/s²
x = 10 cm
Deve-se realizar a conversão da compressão da mola de centímetros para metros:
x = 10 cm = 0,1 m


(- Fat).∆x + Epotencial  = Ecinética

 (-μ.m.g)∆x + (Epi -Epf) = Ec

(-0,25.4.10).0,1 + (0 -    k.x²   )  =    -m.v²   
                                  2              2

- 1 -    700.(0,1)²    =    -4.v²   
               2                       2

-1 - 3,5 = -2.v²

v² =    -4,5   
     -2

v² = 2,25

v = 1,5 m/s

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Aceleração Centrípeta III

Um disco horizontal gira com velocidade angular constante w. um bloco de massa m = 0,5kg, ´e apoiado sobre o disco à distância d = 0,25m do centro do mesmo. 
O coeficiente de atrito entre o disco e o bloco é μ = 0,35. Determinar a máxima velocidade angular do disco que não produz escorregamento do bloco.

Sabe-se que ac = v²/R e que a velocidade angular constante é dada por v = w.R temos:

ac =    v²     =    (w.R)²  
         R         R

Portanto temos:
ac = w². R

Fcp =m.ac

fat = m.w².R

μ.N = 0,5. w².0,25

1,75 = 0,125w²

w² = 1,75/ 0,125

w² = √14

w = 3,74 rad/s

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Energia potencial Elástica

Tendo recebido um impulso, um bloco de massa m = 3,0kg desliza sobre um plano horizontal, em direção a uma mola. A mola é leve e tem constante elástica k = 5000N/m. O coeficiente de atrito é 0,15. A máxima compressão da mola é 10cm. Adotar g = 10 m/s². Determinar a velocidade do bloco no instante em que ele encosta na mola.

Antes de iniciar-se o cálculo revisaremos um pouco a teoria.


- Força elástica é uma força conservativa, pois seu trabalho só depende da posição inicial e da posição final:
             Ep =  Epi - Epf

Sabe-se que na  Epi o deslocamento da mola será 0.
Portanto teremos:  Ep =  - Epf


- A variação da Energia Cinética é dada pela equação:
             Ec =  Eci - Ecf

Sabe-se que a velocidade inicial do bloco é zero, entao a  Eci = 0.

Portanto teremos:  Ec =  - Ecf

- A energia potencial elástica será a resultante da soma da Força Elástica com o produto da Força de Atrito com o deslocamento de compressão da mola.

Analisando as unidades, temos:

m = 3,0 kg
k= 5000N/m
μ = 0,15
g = 10 m/s²
x = 10 cm
Deve-se realizar a conversão da compressão da mola de centímetros para metros:
x = 10 cm = 0,1 m


(- Fat).∆x + Epotencial  = Ecinética

 (-μ.m.g)∆x + (Epi -Epf) = Ec

(-0,15.3.10).0,1 + (0 -    k.x²   )  =    -m.v²   
                                  2              2

- 0,45 -    5000.(0,1)²    =    -3.v²   
               2                       2

-0,45 - 25 = -1,5.v²

v² =    -25,25   
     -1,5

v² = 16,96

v = 4,12 m/s

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Energia e Trabalho

Num corpo de massa 2 kg atuam as forças F e de atrito cinético fatc, conforme mostra a figura.. Essas forças são paralelas ao deslocamento que ocorre no plano horizontal. No instante t=0, o corpo se encontra na origem dos espaços (S0=0) e em repouso (vo=0).

Calcule:

a) o trabalho realizado por F ao longo de 6m;

Para determinar-se o trabalho realizado por F ao longo de 6m, deve-se calcular a área de cada figura geométrica apresentada no gráfico.

Área do Quadrado: b.h

2.10 = 20J

Área do trapézio:   (b+B).h   

                               2

   (10 + 20).2        = 30J

          2

Área do triângulo:   b.h   

                              2

   2.20        = 20J

     2

Somatória dos trabalhos realizados:

τ0-6 = 20 + 30+ 20

τ0-6 = 70J

b) o trabalho da força de atrito ao longo de 6m;

Para determinar-se o trabalho realizado da força de atrito ao longo de 6m, deve-se calcular a área do retângulo correspondente a Força fat.

Área do Retângulo: b.h
-9 . 6 = -54J

c) o trabalho da força resultante que atua no corpo ao longo dos 6m;

Para determinar-se o trabalho da força resultante que atua no corpo ao longo de 6m, deve-se calcular todas as forças atuante no corpo de massa 2kg.

No bloco há as seguintes forças: Normal, Peso, Força e Fat.

Ao analisar o diagrama nota-se que as forças Normal e Peso formam angulação de 90 graus com o eixo x, sabe-se que cos 90 = 0, portanto as forças Normal e Peso será zero, isto nos privará de realizar contas e perder tempo desnecessário:

F e Fat já havia sido calculado portanto basta realizar a somatória do trabalho da força resultante que atua no corpo ao longo dos 6m.

_Frτ_0-6 = _Fτ_0-6  + _Pτ_0-6 + _Nτ_0-6+ _Fatτ_0-6

_Frτ_0-6 = 70 + 0 + 0 - 54

_Frτ_0-6 = 16J

d) a velocidade do móvel na posição 6m.

Para determinar-se a velocidade do móvel na posição 6m, sabe-se que o trabalho de todas as forças que estão atuando no corpo é igual à variação da energia cinética final menos a inicial.

_Frτ_0-6  = Е_cf - Е_ci

Sabe-se que a energia cinética inicial é nula, pois a velocidade neste instante será 0.

_Frτ_0-6  = Е_cf

_Frτ_0-6  =     m.v²   

                   2

16 =    2. v²   

            2

v² = 16

v = √16

v = 4 m/s

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Cinemática VII

Um fuzileiro atira em um alvo. Entre o instante do disparo e o instante em que o fuzileiro ouve o impacto do projétil no alvo, decorrem 3,0s. A velocidade do projétil é vp = 680 m/s enquanto que a velocidade do som é vs = 340 m/s. O movimento do projétil é uniforme com trajetória reta e horizontal. Determinar a distância entre o fuzileiro e o alvo.

Sabemos que o tempo entre o instante do disparo e o instante em que o fuzileiro ouve o impacto do projétil no alvo é de 3 segundos, portanto temos:

Ttotal = tprojétil + tsom

3 = tprojétil + tsom

Projétil: 

v =    ∆s   

   ∆tprojétil

∆tprojétil =    ∆s   

                    v

∆tprojétil =    ∆s   

                   680

Som:

v =    ∆s   

     ∆tsom

∆tsom =    ∆s   

             340

Substituindo:

 3 =    ∆s    +    ∆s   

          v           v 

 3 =    ∆s    +    ∆s   

         680      340

Faz-se m.m.c

2040 =  ∆s + 2.∆s

2040 =  3

∆s = 2040 / 3

∆s = 680m.

A distância entre o fuzileiro e o alvo é de 680m.

 Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Cinemática VI

Um carro de corrida A possui velocidade constante va = 50 m/s. No boxe está um carro B parado. Quando A está 200m à frente do carro B, este parte com aceleração constante a = 5 m/s². Pedem-se:

a) o tempo gasto para que o carro B alcance o carro A;

O tempo necessário para o carro B alcançar o carro A, será quando as posições forem iguais:

Sb = Sa

O carro realiza movimento uniformemente variado, ou seja, velocidade é variável e a aceleração constante. Portanto usaremos a equação horária do movimento uniformemente variável:

a(t) = 5 m/s²

Sb = So + vo.t +   1   .a.t²

                        2

Sb =    5.t²   

           2 

Sb = 2,5t²

Como não há mais nada a fazer na equação por termos duas incógnitas seguiremos nossos cálculos e ver o que nos aguarda.

O enunciado nos diz que a velocidade do carro A é constante, se é constante então será movimento uniforme.

V= 50 m/s                      So = 200m

Sa = 200 + 50.t

Também obtivemos duas incógnitas, agora para determinar-se o tempo igualaremos as equações:

Sb = Sa

2,5.t² = 200 + 50.t 

2,5.t² - 50.t - 200 = 0

Para resolvermos usaremos Bháskara

x =    -(-50) ±√(-50)² - 4.2,5.(-200)   

                  2.2,5

x =  50 ±√2500+ 2000   

              5

x¹ =   50 + √ 4500  

               5

x¹ =   107,08  

           5

x¹ = 23,41 

x² =   50 - √4500  

             5

x² =   -17,08  

           5

x² = - 3,41

O que nos interessa será o valor positivo, portanto o tempo necessário para o guarda alcançar o carro é de 23,41 segundos.

b) o percurso do carro B até alcançar o carro A.

Para determinarmos o percurso do carro B até alcançar o carro A, podemos resolver por duas maneira:

Usando a equação do deslocamento do carro A:

S = S0 + v.t

S = 200 + 50.23,41

Sa = 200 + 1170,5

Sa = 1370,5 m

Usando a equação do deslocamento do carro B:

Sb = 2,5.t²

Sb = 2,5.(23,41)²

Sb = 2,5.548,03

Sb = 1370,1 m

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Cinemática V

Em pista reta, um carro progride com velocidade constante v = 20m/s. À beira da estrada está postado u guarda rodoviário com motocicleta. Quando o carro está a 100m à frente do guarda, este parte e põe-se no encalço do carro com aceleração constante a (t) = 4,0 m/s². Pedem-se:

a) o tempo necessário para o guarda alcançar o carro;

O tempo necessário para o guarda alcançar o carro, será quando as posições forem iguais:

Scarro = Smoto

A moto realiza movimento uniformemente variado, ou seja, velocidade é variável e a aceleração constante. Portanto usaremos a equação horária do movimento uniformemente variável:

a(t) = 4 m/s²

Smoto = So + vo.t +   1   .a.t²

                                  2

Smoto =    4.t²   

                2 

Smoto = 2t²

Como não há mais nada a fazer na equação por termos duas incógnitas seguiremos nossos cálculos e ver o que nos aguarda.

O enunciado nos diz que a velocidade do carro é constante, se é constante então será movimento uniforme.

V= 20 m/s                      So = 100m

Scarro = 100 + 20.t

Também obtivemos duas incógnitas, agora para determinar-se o tempo igualaremos as equações:

Scarro = Smoto

100+20.t = 2.t²

2.t² - 20.t - 100 = 0

Para resolvermos usaremos Bháskara

x =    -(-20) ±√(-20)² - 4.2.(-100)   

                  2.2

x =  20 ±√400+ 800   

              4

x¹ =   20 + √ 1200  

               4

x¹ =   56,64  

           4

x¹ = 13,66 

x² =   20 - √1200  

             4

x² =   -34,64  

           4

x² = - 3,66

O que nos interessa será o valor positivo, portanto o tempo necessário para o guarda alcançar o carro é de 13,66 segundos.

b) a velocidade da moto no instante em que alcança o carro;

Sabemos que a moto realiza  movimento uniformemente variado, então temos:

v = vo + a.t

v = 4.13,66

v = 54,64 m/s

c) o percurso da moto até alcançar o carro.
Para determinarmos o percurso da moto até alcançar o carro, podemos resolver por duas maneira:

Usando a equação do deslocamento do carro:

S = S0 + v.t

Scarro = 100 + 20.13,66

Scarro = 100 + 273,2

Scarro = 373,2 m

Usando a equação do deslocamento da moto:

Smoto = 2.t²

Smoto = 2.(13,66)²


Smoto = 2.186,59

Scarro = 373,2 m

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!

Cinemática Vetorial III

1) Um móvel desloca-se segundo: x=t²; y= 5.t [S.I.]. Pedem-se:

a) a equação da trajetória;

Para determinarmos a equação da trajetória sabemos

   →       →    →

que r(t) = x.i + y.j, ou seja, temos duas equações paramétricas da trajetória que são:

x = t²

y = 5.t

Eliminaremos nossa variável tempo, para obtermos nossa equação da trajetória.

t =    y   

        5

Substituindo na equação paramétrica x:

x = t²

x = (y/5)²

x =    y²   

       25

b) a equação horária do vetor posição;

O exercício nos dá as equações paramétricas da trajetória, que são referentes ao deslocamento, então basta fazermos:

→      →    →

 r(t) = x.i + y.j

Onde:

x = t²

y = 5.t

→      →     →

r(t) = t².i + 5.t.j

c) a equação horária da velocidade;

Para determinarmos a equação horária da velocidade temos que derivar a equação horária do vetor posição:

→         →    →

r(t) = t².i + 5.t.j

→       →  →

v(t) = 2t.i + 5.j

d)  a equação horária da aceleração;

Para determinarmos a equação horária da aceleração temos que derivar a equação horária da velocidade:

→        →    →

v(t) = 2t.i + 5.j

→     →

a(t) = 2.i

e) o instante em que a velocidade é mínima;

O instante em que que a velocidade será minima será no t = 0s.

t = 0s

→        →   →

v(0) = 2.0.i + 5.j

→      →

v(0) = 5.j (m/s)

f) as componentes tangencial e normal da aceleração, em t = 2s.

O vetor aceleração pode ser expresso em função de duas componentes, uma na direção do vetor velocidade que é denominada de direção tangente, e, a outra na direção do raio, com sentido apontada para o centro do arco de circunferência que é denominada de direção normal.

Para se determinar a aceleração tangencial, podemos obtê-la através da equação abaixo:

→      →    →

at =    v(t) . a(t)   

             →

           lv(t)l 

Na questão pede-se as componentes tangencial e normal da aceleração no instante 2segundos, portanto para calcularmos a aceleração tangencial vamos calcular a velocidade no instante t = 2s.

 →        →      →

v(2) = 2.2.i + 5.j

→     →      →

v(2) = 4.i + 5.j (m/s)

No caso da aceleração deste exercício será sempre constante independente de qual seja o instante:

→        →

a(2) = 2.i (m/s²)

                              →

Para calcularmos lv(2)l entraremos no Teorema de Pitágoras,  pois

o vetor velocidade é a hipotenusa do triângulo retângulo

              →   →

 de lados v.i e v.j.

→      

lv(2)l = √4² + 5²

→    

lv(2)l = √41

→      

lv(2)l = 6,4

Substituindo:

→         →     →

at =    v(2) . a(2)   

              →

           lv(2)l 

→      →   →      →

at=    (4.i + 5.j) + (2.i)   

                6,4

→   

at =    8 + 5.0    

            6,4

→    

at =    8     

       6,4

→      

at = 1,25 (m/s²)

Para determinarmos a normal da aceleração sabemos que o vetor aceleração é a hipotenusa do triângulo retângulo de lados at e an, portanto temos:

→         →      →

latl² = at²  +   an²

→        →      →

an = √latl² - at²   

→      

an = √ 2² - 1,25²

→      

an = √ 4 - 1,5625

→    

an =√ 2,4375

→      

an =1,56 (m/s²)

Pessoal, se tiverem alguma dúvida ou se não entenderam alguma coisa, é só perguntar nos comentários. Espero que tenham gostado e curtido!