Raízes (√, ³√, 4√)...O que Fazer? Eis a questão!

Suponhamos os seguintes exemplos:

1° exemplo:

x⁵ = 123

x = ⁵√123

2° exemplo:

x⁴ =    2^2/3 * 3^-2/5   
            1²

Percebe-se que quando os alunos chegam nessa situação, muitos param de responder o exercício sem termina-lo por não saberem o que fazer, mas o cálculo é mais simples do que imaginamos.

Resolvendo o 1° exemplo:

x⁵ = 123
x = ⁵√123


Uma maneira simples de resolver é multiplicar o expoente da incógnita pelo seu inverso, ou seja, 1/5:

x^5*(1/5) = 123^(1/5)

5* (1/5) = 1

Portanto temos:
x¹ = 123^(1/5)
x = 2,61806


Lembretes:

- Não olvidemos de multiplicar a equação inteira pelo inverso da expoente da incógnita;

- O expoente 1 foi colocado apenas para representar o cálculo, não é necessário colocá-lo.


Resolvendo o 2° Exemplo:

x⁴ =    2^2/3 * 3^-2/5   
            1²
Lembrem-se, o expoente de maior importância que deve ser eliminado é o da incógnita, portanto multiplicamo-lo pelo seu inverso, ou seja, ¼:

x^4*(1/4) =    [2^(2/3)*(1/4)] * [3^(-2/5)*(1/4)]

                            1²*^(1/4)

Resolveremos cada expoente separadamente:

Multiplicação de números fracionários é denominador x denominador e numerador x numerador.

4*(1/4) = 1

(2/3)*(1/4) = 1/6

(-2/5)*(1/4) = -1/10

2*(1/4) = ½

Substituindo na equação:

x¹ =    2^1/6 * 3^-1/10

             1^1/2

x = 1,122*0,895

            1

x = 1,00419

Pessoal, espero que tenham entendido e curtido, fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!


           

Número ao quadrado (digito final:5)...O que fazer? Eis a questão.

Apresento-vos um truque infalível que irá ajudar-vos na hora do desespero.

Vários alunos perdem tempo e paciência desnecessário quando estão trabalhando com números ao quadrado, há um pequeno truque para quando o digito final do número que se deseja elevar ao quadrado for 5.

Começando por um número simples de dois digitos: 35²

1° Passo:
Iremos chamar o primeiro digito de "a" para aplicarmos uma simples fórmula: a*(a + 1)

Substituindo temos:
3*(3 + 1) = 3 *4 = 12

Se achar mais simples, multiplicaremos o "a" pelo seu número sucessor:
3*4 = 12


2° Passo:
Faremos o quadrado de 5:

5² = 25


3° Passo:
Juntaremos os passos anteriores:
1° Passo = 12
2° Passo = 25
Portanto: 3° Passo = 1.225

Para eliminarmos a dúvida iremos por meio de uma calculadora tirar prova se realmente o resultado confere.

Pode-se aplicar esse cálculo para número de qualquer quantidade de dígitos, faremos mais um exemplo com número de 4 dígitos:

1235² = ?

1° Passo: 123*(123 + 1) = 15252
2° Passo: 5² = 25
Portanto:
3° Passo: 1.525.225

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!
    

Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis

A equação diferencial de variável separável é do tipo:

∫h(y)dy = ∫h(x)dx

Exemplo 1: y'  = e-3x

Lembrando que y' é o mesmo que ∂y/∂x

Portanto:

   ∂y    = e-3x
 ∂x

Separando y e x:

 ∂y = e-3x ∂x

∫∂y = ∫e-3x ∂x

y = (- e-3x) /3  + C

Solução Explícita, pois é como isolar o ''y''.

Exemplo 2: cos(x)∂x +    1     ∂y = 0
                                         y³

Separando y e x:
    1     ∂y = cos(x)∂x
  y³

∫    1     ∂y = - ∫cos(x)∂x
   y³

∫ y-3  ∂y = - ∫cos(x)∂x
 
 (-y-2)/2 =  - sen(x)

Arrumando a equação:

    1    = (- sen(x)).(-2)
   y²

    1    = 2.(sen(x))
   y²

y² =            1         
          2.(sen(x))


y = ± √ (1/2.(sen(x)))

Solução Explícita.



Exemplo 3: y' =    x + 2   
                              y4 + 3
Separando y e x:

   ∂y    =    x + 2   
   ∂x        y4 + 3


Separando y e x:

 (y4 + 3)∂y = (x² +2)∂x

∫ (y4 + 3)∂y = ∫(x² +2)∂x

(y5)/5 + 3y = (x²)/2 + 2x + C

Solução Implícita, pois não tem como isolar o ''y''.

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!

Integral Iterada IV

Calcule a integral dupla abaixo, onde R = {(x,y)/ 0 ≤  x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ √x}

∫ ∫    2y   dA
 R      x² + 1

Analisando o R, temos no eixo y variação de 0 a √x, portanto devemos começar por eliminar essa incógnita da variação e para eliminá-la, começaremos integrar em função de y, para ao substituir ficarmos tudo em função de x.

1    √x
∫ ∫    2y   dydx
0  0     x² + 1

Como x é constante, tiraremos-o da integral

       √x
1/(x²-1)∫ 2ydy
      0
       
         √x    
1/(x²-1).[2y²/2]
         0

         √x    
1/(x²-1).[y²]
         0
         
1/(x²-1).[(√x)²- (0)²]
   
1/(x²-1).[x]

        

   x   
(x²-1)

Obtendo o resultado da integral em função de y, em seguida integra-se em função de x:

 1
∫     x    dx
0    (x²-1)


Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = x² + 1           du/2x = dx

1
∫    x    dx
0     u

Substituindo: 

  1
18∫    x    .    du   
  0     u          2x

Cortando o x, temos:

1
∫ ln|u| . 1/2

0

                 1
[ln|x² +1| . 1/2]
                 0

Arrumando e substituindo:
                1
1/2.[ln|x² +1|]
                0
    
1/2.[ln|(1)² +1| - ln|(0)² +1|]

1/2.[ln|2| - ln|1|]     

 1 .ln|2| 
2





Calcule a integral dupla abaixo, onde R = {(x,y)/ 0 ≤  y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y}

∫ ∫ x.√(y² - x²) dA
 R      

Analisando o R, temos no eixo x variação de 0 a y, portanto devemos começar por eliminar essa incógnita da variação e para eliminá-la, começaremos integrar em função de x, para ao substituir ficarmos tudo em função de y.

1    y
∫ ∫ x.√(y² - x²) dxdy
0  0     

       

 y
∫ x.(y² - x²)1/2 dxdy
0


Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = y² - x²           du/2x = dx

y
∫ x.(u)1/2 dx
0  

Substituindo: 

  y
∫    x.(u)1/2 .    du   
0                     2x

Cortando o x, temos:

     y
1/2∫ (u)1/2

     0

                  y
1/2[2/3(u)3/2 ]
                  0

Arrumando e substituindo:
                             y
(1/2).(2/3).[(y² - x²)3/2]
                             0
    
1/3.[(y² - y²)3/2 - (y² - 0²)3/2]

-1/3.[(y²)3/2]

-1/3.[(y)6/2]     


Obtendo o resultado da integral em função de x, em seguida integra-se em função de y:

 1
∫ -1/3.(y)6/2 dy
0

    1
-1/3∫ (y)6/2 dy
   0

                  1
-1/3.[(2/8).(y)8/2]
                  0

                       1
-(1/3). (2/8).[(y)8/2]
                       0
                             
                  1
-(1/12).[√(y)8]
         0

- (1/12).[√(1)8 - √(0)8]

- (1/12).[1]

  - 1   
   12

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Integral Iterada I

Suponha que f seja uma função de 2 variáveis, contínua no retângulo R = [a,b]x[c,d]. A integral: 
  a  d
∫ ∫ f(x,y)dydx
 b  c

é chamada de Integral Iterada

Teorema de Fubini

Se f for contínua no retângulo, então:

R = {(x,y)/ a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d}

Exemplo 1:

  3  2
∫ ∫ x²ydydx
 0  1

Pela ordem dada, começaremos a integral em função de y, como x é uma constante podemos tirá-lo da integral:

    2
x²∫ ydy
    1
       
         2    
x²[y²/2]
          1

x²[2²/2 - 1²/2]

x²[2 - 1²/2]

  3x²  

  2

Obtendo o resultado da integral em função de y, em seguida integra-se em função de x:

  3
∫   3x²  dx
 0   2
        
    3
3/2∫ x²  dx
    0  

          3    
3/2.[x³/3]
          0

3/2.[3³/3 - 0³/3]

3/2. [9]

  27  

  2

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Integral Iterada II

Calcule a integral dupla abaixo, onde R = {(x,y)/ 0 ≤  x ≤ 1 e 3 ≤ y -3}

∫ ∫    xy²   dA
 R      x² + 1

Analisando a integral será mais fácil começarmos a integrar por y, para eliminar-la de primeira e ficarmos apenas com o y, pode-se começar a integrar por x, fica a critério de cada um, porém o resultado tem que ser o mesmo.

1   3
∫ ∫    xy²   dydx
0  -3     x² + 1

Como x é constante, tiraremos-o da integral

       3
x/(x²-1)∫ y²dy
      -3
       
         3    
x/(x²-1).[y³/3]
         -3
         
x/(x²-1).[3³/3 - (-3)³/3]
     
x/(x²-1).[9 +9]

        

   18x   
(x²-1)

Obtendo o resultado da integral em função de y, em seguida integra-se em função de x:

 1
∫    18x    dx
0    (x²-1)

Como o 18 é uma constante, vamos isolá-lo:

   1
18∫    x    dx
  0    (x²-1)  

Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = x² + 1           du/2x = dx

  1
18∫    x    dx
  0       u

Substituindo: 
 
  1
18∫    x    .    du   
  0       u          2x

Cortando o x, temos:

 1
18∫ ln|u| . 1/2

 0

                        1
18 [ln|x² +1| . 1/2]
                        0

Arrumando e substituindo:
                       1
18 . 1/2.[ln|x² +1|]
                        0
    
9.[ln|(1)² +1| - ln|(0)² +1|]

9.[ln|2| - ln|1|]     

9.ln|2|                 

Para mostrar que independente de qual irá integrar primeiro o resultado será o mesmo, mostrado os cálculos:

1   3
∫ ∫    xy²   dxdy
0  -3     x² + 1

Como y² é constante, tiraremos-o da integral:

  1
y²∫    x    dx
  0    (x²-1)


Aplicaremos integral por substituição, onde:

u  = x² + 1           du/2x = dx

  1
y²∫    x    dx
  0       u

Substituindo: 

  1
y²∫    x    .    du   
  0       u          2x

Cortando o x, temos:

 1
y²∫ ln|u| . 1/2

 0

                        1
y² [ln|x² +1| . 1/2]
                        0

Arrumando e substituindo:
                       1
y² . 1/2.[ln|x² +1|]
                        0
    
y²/2.[ln|(1)² +1| - ln|(0)² +1|]

y²/2.[ln|2| - ln|1|]     

   y².ln|2|                 

     2

Obtendo o resultado da integral em função de x, em seguida integra-se em função de y:

3

∫    y².ln|2|    dy          
-3        2

Como o ln|2|/2 é uma constante, vamos isolá-lo:

       

     3

  ln|2|  .∫ y² dy          
   2    -3

              3    
  ln|2|  .[y³/3]
     2       -3

Substituindo
             
  ln|2|  .[3³/3 - (-3)³/3]
     2  

  ln|2|  .[9 +9]

      2  

  ln|2|.18  

      2  

9.ln|2|        

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Integral Iterada III

 1  e^y

∫ ∫ (√x)dxdy
 0  y

Pela ordem dada, começaremos a integral em função de x:

Arrumando a equação:

 1  e^y

∫ ∫ x1/2dxdy
 0  y

  e^y

 ∫ x1/2dx
  y

               e^y

[ 2.x3/2   ]
      3        y

               

[ 2.e 3.y/2 -  2.y 3/2]
       3              3

Obtendo o resultado da integral em função de x, em seguida integra-se em função de y:

  1
∫ [ 2.e 3.y/2 -  2.y 3/2] dy
0       3              3
        
                                                    1
[  2  .  2  . e 3.y/2 -    2   .   2   . y 5/2]
  3   3                    3     5              0

                                       1
[  4  . e 3.y/2 -   4   . y 5/2]
  9                 15              0

                                     
[  4  . e 3.1/2 -   4   . 1 5/2] - [  4  . e 3.0/2 -   4   . 0 5/2]
  9                 15                    9                 15

[  4  . e 3/2 -   4   ] - [  4   - 0]
  9                 15          9    

  4  . e 3/2 -   4    -   4  
  9                 15       9

  4  . e 3/2 -   32 
  9                 45            

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Regra da Cadeia para funções de 2 variáveis II

1) Se f(x,y) = x.e2.x.y² , onde x = 2.t e y = 3.t -1.

Derivando em função de x:

   ∂f    = 1.e2.x.y² + 2.x.y².e2.x.y²
  ∂x

Derivando em função de y:

   ∂f    = 2.2.x.y.x.e2.x.y²
  ∂x

  ∂f    = 4.x².y.e2.x.y²
  ∂x


Derivando x em função do tempo:

   ∂x    = 2
  ∂t

Derivando y em função do tempo:

   ∂y    = 3
  ∂t

Substituindo na equação geral ∂f/∂t

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

   ∂y    = (e2.x.y² + 2.x.y².e2.x.y²).2 + (4.x².y.e2.x.y²).3
  ∂t

   ∂y    = 2e2.x.y² + 4.x.y².e2.x.y² + 12.x².y.e2.x.y²
  ∂t

Colocando ''e'' em evidência:

  ∂y    = e2.x.y².(2 4.x.y² + 12.x².y)
  ∂t

Substituindo o ''x'' e ''y'' pelas equações dadas pelo exercício:

   ∂y    = e2.(2.t).(3t-1)².[2 + 4.(2t).(3t-1)² + 12.(2t)².(3t-1)]
  ∂t

  ∂y    = e4.t.(3.t-1)².[2 + 8.t.(3t-1)² + 48.t².(3t-1)]
  ∂t

2) Se z = x.cos(y); x = sen(t) e y = t:

Derivando em função de x:

   ∂f    = cos(y)
  ∂x

Derivando em função de y:

   ∂f    = -x.sen(y)
  ∂x


Derivando x em função do tempo:

   ∂x    = cos(t)
  ∂t

Derivando y em função do tempo:

   ∂y    = 1
  ∂t

Substituindo na equação geral ∂f/∂t

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

   ∂y    = cos(y).cost + [-x.sen(y)].1
  ∂t

   ∂y    = cos(y).cos(t) - x.sen(y)
  ∂t


Substituindo o ''x'' e ''y'' pelas equações dadas pelo exercício:

   ∂y    = cos(t).cos(t) - sen(t).sen(t)
  ∂t

   ∂y    = cos²(t) - sen²(t)
  ∂t

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Derivada Direcional II

Determinar a taxa de variação de f no ponto P na direção e sentido do vetor u que já está normalizado. 

O exercício já diz que o vetor u já está normalizado, portanto não será necessário calcular o versor.

1) f(x,y) = y lnx, P = (1,-3) e u =   -4   î +    3  ĵ
                                            5          5  

Derivando f(x):

f(x) =    y   
           x 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = -3/1

f(x) = -3

Derivando f(y):

f(y) =lnx

Substituindo pelos pontos:

f(x) = ln 1
f(x) = 0

grad f(1,-3) = (-3,0)

O produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (-3,0).(-4/5, 3/5)

Duf (x,y) =    12    

                  5

2)  f(x,y,z) = xe 2yz, P = (3,0,2) e u =    2   î,    -2   ĵ ,    1   k 

                                                    3         3          3 

Derivando f(x):

f(x) = e 2yz 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = e 2.0.2

f(x) = 1

Derivando f(y):

f(y) = 2zxe 2yz 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.2.3.e 2.0.2
f(x) = 12

Derivando f(z):

f(y) = 2yxe 2yz 

Substituindo pelos pontos:

f(x) = 2.0.3.e 2.0.2
f(x) = 0

grad f(3,0,2) = (1,12,0)

O produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (1,12,0).(2/3,-2/3, 1/3)

Duf (x,y) =    2    -    24    

                  3         3

Duf (x,y) =    -22   
                   3

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Regra da Cadeia para funções de 2 variáveis I

Para função de 1 variável tínhamos:

f(x(t))

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x   
  ∂t           ∂x         ∂t


Para Regra da Cadeia de funções de 2 variáveis:

f(x(t), y(t)

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

Primeiro deriva-se a função em função de x e em seguida deriva-se x em função do tempo, faz-se o produto da derivada da função em x pelo x derivado em função do tempo, faz-se o mesmo esquema com y, para finalizar só realizar somatória.



Exemplo 1: Se f(x,y) = x²y + 3xy², onde x = sen2t e y = cost determine df/dt quando t = 0s.

Derivando em função de x:

   ∂f    = 2xy + 3y²
  ∂x

Derivando em função de y:

   ∂f    = x² + 6xy
  ∂x

Derivando x em função do tempo:

   ∂x    = cos(2t).2
  ∂t

Substituindo t por t = 0s.

   ∂x    = cos(2.0).2
  ∂t

   ∂x    = 2
  ∂t

Derivando y em função do tempo:

   ∂y    = -sent
  ∂t

   ∂y    = -sen0
  ∂t

   ∂y    = 0
  ∂t

Substituindo na equação geral ∂f/∂t

   ∂f    =    ∂f    .    ∂x    +    ∂f    .    ∂y   
  ∂t         ∂x         ∂t           ∂y         ∂t

   ∂y    = (2xy +3y²).2 + (6.x.y).0
  ∂t

   ∂y    = 4xy + 6y²
  ∂t

Substituindo o ''x'' e ''y'' pelas equações dadas pelo exercício:

   ∂y    = 4(sen(2t)).(cos(t)) + 6(cos(t))²
  ∂t

Substituindo pelo tempo dado t = 0s:

   ∂y    = 4(sen(2.0)).(cos(0)) + 6(cos(0))²
  ∂t

   ∂y    = 6
  ∂t

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!

Derivada Direcional III

Determinar a derivada  direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor v.

f(x,y) = ln(x² + y²), P = (2,-1) e  u = (-1,2)

Derivando f(x):

f(x) =     2x    

          x² + y²

Substituindo pelos pontos:

f(x) =     2.2    

          (2)² + (1)²

f(x) = 4/5

Derivando f(y):

f(y) =    2y    

          x² + y²

Substituindo pelos pontos:

f(x) =     2.1    

          (2)² + (1)²

f(x) = 2/5

grad f(2,-1) = (4/5,2/5)

Calculado o vetor gradiente, calcula-se o módulo de u para determinar o versor.

|u| = √(1² + 2²)

|u| = √ 3

versor =    u   
               |u|

versor = (-1/√3, 2/√3)

Determinado o versor basta fazer o produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Duf(x,y) = grad f(2,-1).u

Duf (x,y) = (4/5,2/5).(-1/√3, 2/√3)

Duf (x,y) =    -4    +    4    = 

                5√3       5√3      

Duf (x,y) =    - 4  .    √3    +    4    .    √3   

                5√3      √3       5√3       √3      

Duf (x,y) =     -4√3    +    4√3   

                     15               15       

Duf (x,y) = 0



2) g(r,θ) = e-π senθ, P = ( 0, π/3) e v = 3î - 2ĵ

Derivando g(x):

g(r) = - e-π senθ

Substituindo pelos pontos:

g(x) = - e-0 sen(π/3)

g(x) = -√3/2

Derivando f(θ):

f(θ) = e-π cosθ

Substituindo pelos pontos:

g(θ) = e-0 cos(π/3)

g(θ) = 1/2

grad f(2,-1) = (-√3/2,1/2)

Calculado o vetor gradiente, calcula-se o módulo de u para determinar o versor.

|u| = √(3² + 2²)

|u| = √13

versor =    u   
               |u|

versor = (3/√13, -2/√13)

Determinado o versor basta fazer o produto escalar entre o versor e o vetor gradiente:

Dug(r,θ) = grad f(2,-1).u

Dug(r,θ) =  (-√3/2,1/2). (3/√13, -2/√13)

Dug(r,θ) =    -3√3     -     2    = 

                2√13         2√13      

Dug(r,θ) =    -3√3   .    √13    -     2     .    √13   
                   2√13      √13       2√13       √13      

Dug(r,θ) =     -3√39    -    2√13   

                    26              26       

Dug(r,θ) =     -3√39 -   2√13   

                         26             

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!