Cinemática - Integral

Boa Tarde Pessoal

Na postagem de cinemática anterior, havíamos estudado cinemática aplicando derivação, agora veremos usando a integral.

Segue o link da cinemática:

http://culturaexatas.blogspot.com.br/2013/09/cinematica.html

Usaremos a mesma equação horária da velocidade do link acima - Exemplo 1 para explicarmos a integral.

Uma partícula percorre uma trajetória com velocidade V(t) = 6t² - 18t + 25 [S.I.]. Sabendo que no instante 4 segundos a posição do móvel é de 82m. Pede-se:

A posição da partícula em função do tempo.

A informações que temos são:

V (t) = 6t² - 8t + 25

t = 4 segundos

s(4) = 82m

Lembrem-se que teremos que integrar, ou seja, chegar na equação da posição, e para isso integraremos passo a passo cada parte da equação horária da velocidade, portanto temos:

Regrinha Básica:

Quando derivamos temos que tombar o expoente multiplicando, e, subtrair o expoente por -1, como exemplificado abaixo:

y = 6t²
y' = 6.2 t²-¹
y1 = 12t

Na integral realizaremos o contrário, somamos o exponente por +1,e, em seguida tombamos o exponencial dividindo, e como exemplificado abaixo:

6.t²+¹ =

6   .t³ =
 
   6   .t³ =
   3

2.t³

Agora vamos  integrar 8t, aplicando os mesmos passos citados acima:

-18t¹+¹ =

-18t² =

  - 18   t²
  2

-9t²

Agora vamos  integrar 25:

Como não temos nenhum"t" então equivale a t0 pois todo número com exponencial 0 é igual a 1, então temos:

25t0+1 =

25t¹

Agora que já foi realizado a integral da equação inteira, vamos montá-la:

2t³ - 9t² +25t + C


Porque agora apareceu a letra C?

Simples, não sabemos se nossa equação terá algum número real positivo, ou negativo, ou zero que não esteja multiplicando pelo "t" ou outra função qualquer, então o colocamos para determinarmos se há este número real positivo, ou negativo, ou zero.

No enunciado do exercício foi dado que no t = 4s o móvel se encontra na posição 82m, então usaremos estas informações para determinar nosso "C".

S(t) = 2t³ - 9t² +25t + C 

Substituindo na equação:

t = 4s

S = 82m

S(4) =2t³ - 9t² +25t + C 

82 =2(4)³ - 9(4)² +25.4 + C 

82 = 2.(64) - 9.(16) + 25.4 + C

82 = 128 - 144 + 100 + C

C = 82 - 128 + 144 - 100

C = 226 - 228

C = -2

Portanto nossa equação horária da posição é:

 S(t) = 2t³ - 4t² +25t -2

Para quem quiser conferir a equação com a original é só acessar o link  no exemplo 1 que deixei no início da postagem. 

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!