Cinemática

Cinemática é a parte da mecânica que estuda ou descreve os movimentos independentemente de suas causas.

Na cinemática o que interessa é descrever o movimento, determinar a posição, a velocidade e a aceleração do objeto, num determinado instante do tempo.

Trajetória

Trajetória é o conjunto de posições sucessivas ocupadas por um móvel no decorrer do tempo.

Para quantificar o movimento deve-se escolher um ponto de origem sobre a trajetória e uma orientação para a mesma.

Um clássico exemplo é um automóvel fazendo uma viajem entre duas cidades.

Posição

A posição do móvel é dada do ponto de origem da trajetória até o ponto que o móvel está ocupando.

Analisando a imagem acima:

Quando a posição estiver à direita da origem, terá sinal positivo. Origem 0 e posição 10

Quando a posição estiver à esquerda da origem, terá sinal negativo. Origem 0 e posição -10

Exemplo 1:

Um móvel segue equação horária S(t) = 2t³ -9t² + 25t -2 [S.I.]. Pedem-se:

a) A posição do móvel no instante t = 3s;

Para encontrarmos a posição no instante t = 3s, basta apenas substituirmos os "t" por 3s, então temos:

S(3) = 2.(3)³ -9.(3)² + 25.(3) -2

S(3) = 2.27 - 9.9 + 25.3 -2

S(3) = 54 - 81 +75 -2

S(3) = 46m

A posição do móvel no instante t = 3s é 46m.

b) A posição do móvel no instante t = 4s;

Para encontrarmos a posição no instante t = 3s, basta apenas substituirmos os "t" por 4s, então temos:

S(4) = 2.(4)³ -9.(4)² + 25.(4) -2

S(4) = 2.64 - 9.16 + 25.4 -2

S(4) = 128 - 144 +100 -2

S(4) = 82m

A posição do móvel no instante t = 4s é 82m.

c) O percurso do móvel entre os instantes 3 e 4s.

Para encontrarmos o percurso entre os instantes 3 e 4s, basta fazermos a subtração do tempo final menos o inicial.

∆S = S(final) - S(inicial)

∆S = S(4) - S(3)

∆S = 82 - 46

∆S = 36 m

Portanto o percurso do móvel entre os instantes 3 e 4 s é de 36m.

Velocidade Média

A velocidade escalar média é determinada pela relação existente entre o deslocamento sofrido pelo móvel entre os ponto A e B, e o tempo gasto para esse deslocamento.

A equação da Velocidade média é:

Vm =    ∆S   

             ∆t

Onde: 

S = deslocamento que o móvel sofreu entre os pontos A e B.

T = tempo gasto para realizar o deslocamento de A a B.

Simplificando:

Vm =    ∆S(final) - ∆S(inicial)   

             ∆t(final) - ∆S(inicial)

Exemplo 2:

Aproveitando o exemplo 1, vamos usar a mesma equação horária de S(t) = 2t³ -9t² + 25t -2 [S.I.] para encontrarmos:

a) A velocidade média do móvel entre os instantes 3 e 4s.

A conta detalhada para descobrirmos o deslocamento está apresenta no exemplo 1, aqui irei simplificá-la para não ficar muito repetitivo.

S(3) = 2.(4)³ -9.(4)² + 25.(4) -2       à   S(3) = 46m

S(4) = 2.(4)³ -9.(4)² + 25.(4) -2       à  S(4) = 82m

Vm =    ∆S(4) - ∆S(3)   

             ∆t(4) - ∆S(3)

Vm =    82 - 46          à        Vm = 36 m/s

             4 - 3                                     

Velocidade Média entre os instantes 3 e 4s é de 36 m/s

b) A velocidade média do móvel entre os instantes 2 e 3s.

S(2) = 2.(2)³ -9.(2)² + 25.(2) -2       à  S(2) = 28m

S(3) = 2.(4)³ -9.(4)² + 25.(4) -2       à   S(3) = 46m

Vm =    ∆S(3) - ∆S(2)   

             ∆t(3) - ∆S(2)

Vm =    46 - 28          à        Vm = 18 m/s

             3 - 2                                     

Velocidade Média entre os instantes 2 e 3s é de 28 m/s


Velocidade Instantânea

A velocidade instantânea é a velocidade verificada pelo móvel ao passar por um determinado ponto da trajetória, e é obtida quando o intervalo tende a zero.

A equação da velocidade instantânea é:

v =    lim                ∆S   

      ∆t à0             ∆t

Exemplo 3:

Aproveitando o exemplo 2, vamos usar a mesma equação horária de S(t) = 2t³ -9t² + 25t -2 [S.I.] para determinarmos:

a) Velocidade instantânea em função do tempo:

Para encontrarmos a velocidade instantânea devemos derivar a equação dada.

Para quem quiser relembrar sobre derivadas segue o link:

http://culturaexatas.blogspot.com.br/2013/08/derivadas-regras.html

Portanto temos:

S(t) = 2t³ -9t² + 25t -2

S'(t) = 2.3t² -9.2t + 25 - 0

S'(t) = 6t² -18t + 25

V(t) = 6t² -18t + 25

b) Determinar a velocidade instantânea  para t = 3s.

Com a equação já derivada poderemos calcular a velocidade instantânea:

V(t) = 6t² -18t + 25

V(3) = 6.(3)² -18.(3) + 25

V(3) = 54 -54 + 25

V(3) = 25 m/s

c) Determinara velocidade instantânea  para t = 4s.

V(t) = 6t² -18t + 25

V(4) = 6.(4)² -18.(4) + 25

V(4) = 96 -72 + 25

V(4) = 49 m/s

Aceleração Média

A aceleração escalar média é determinada pela relação entre a velocidade sofrida pelo móvel entre os ponto A e B, e o tempo gasto para esse deslocamento entre esses dois pontos.

A equação da Aceleração média é:

am =    ∆v   

             ∆t 

Onde: 
am = aceleração escalar média

S = variação da velocidade entre os instantes to e t.
T = tempo gasto para realizar o deslocamento de A para B.

Simplificando:

am =    ∆V(final) - ∆V(inicial)   

             ∆T(final) - ∆T(inicial)

Exemplo 4:

Vamos usar a equação horária V(t) = 6t² -18t + 25  [S.I.] que havíamos derivada no exemplo 3 para encontrarmos:

a) A aceleração média do móvel entre os instantes 3 e 4s.

V(3) = 6.(3)² -18.(3) + 25       à  V(3) = 25 m/s

V(4) = 6.(4)² -18.(4) + 25       à  V(4) = 49 m/s

     

am =    ∆V(4) - ∆V(3)   

             ∆t(4) - ∆S(3)

am =    49-25          à        am = 24 m/s²

             4 - 3                                     

A Aceleração Média entre os instantes 3 e 4s é de 24 m/s²

Aceleração Instantânea

A aceleração instantânea é a aceleração verificada pelo móvel ao passar por um determinado ponto da trajetória, e é obtida quando o intervalo tende a zero.

A equação da aceleração instantânea é:

a =    lim                ∆v   

      ∆t à0             ∆t

Exemplo 5:

Vamos usar a equação horária V(t) = 6t² -18t + 25  [S.I.] do exemplo 4 para encontrarmos:

a) A aceleração instantânea em função do tempo

Para encontrarmos a aceleração instantânea devemos derivar a equação dada.

V(t) = 6t² -18t + 25

V'(t) = 6.2t -18

V'(t) = 12t -18

b) Determinar a aceleração instantânea do móvel no instante 3s.

a(t) = 12t -18

a(3) = 12.3 -18

a(3) = 36 -18

a(3) = 18 m/s²

Observações Importantíssimas:

- A aceleração é positiva quando a velocidade aumenta;

- A aceleração é nula quando a velocidade é constante;

- A aceleração é negativa quando a velocidade diminui;

- A velocidade escalar instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo V(t) = S'(t);

- A aceleração escalar instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo a(t) = V'(t).

Pessoal, espero que tenham gostado e curtido,  fiquem a vontade para deixar comentários e opiniões!